Crecimiento y decrecimiento en un punto

 

Función estrictamente creciente

 

Gráfica de funcion estrictamente creciente

 

{f} es estrictamente creciente en {a} si sólo si existe un entorno {E(a)} de {a}, tal que para toda {x} que pertenezca al entorno de {a} se cumple:

 

1 Si {x>a} entonces {f(x)>f(a)}

 

2 Si {x<a} entonces {f(x)<f(a)}

 

La tasa de variación es positiva, ya que si {f} es estrictamente creciente en {a}, entonces {f'(a)>0}.

 

Función creciente

 

grafica de funciones creciente

 

{f} es creciente en {a} si sólo si existe un entorno {E(a)} de {a}, tal que para toda {x} que pertenezca al entorno de {a} se cumple:

 

1 Si {x>a} entonces {f(x)\ge f(a)}

 

2 Si {x<a} entonces {f(x)\le f(a)}

 

La tasa de variación es positiva o igual a cero, ya que si {f} es creciente en {a}, entonces {f'(a)\ge 0}.

 

Función estrictamente decreciente

 

grafica de funciones estrictamente decreciente

 

{f} es estrictamente decreciente en {a} si sólo si existe un entorno {E(a)} de {a}, tal que para toda {x} que pertenezca al entorno de {a} se cumple:

 

1 Si {x>a} entonces {f(x)<f(a)}

 

2 Si {x<a} entonces {f(x)>f(a)}

 

La tasa de variación es negativa, ya que si {f} es estrictamente decreciente en {a}, entonces {f'(a)<0}.

 

Función decreciente

 

grafica de funcione decreciente

 

{f} es decreciente en {a} si sólo si existe un entorno {E(a)} de {a}, tal que para toda {x} que pertenezca al entorno de {a} se cumple:

 

1 Si {x>a} entonces {f(x)\le f(a)}

 

2 Si {x<a} entonces {f(x)\ge f(a)}

 

La tasa de variación es negativa o igual a cero, ya que si {f} es decreciente en {a}, entonces {f'(a) \le 0}.

 

Superprof

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Derivar la función {f(x)}.

 

2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: { f'(x) = 0}.

 

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad de la función original (si los hubiese).

 

4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

 

Si {f'(x_{0}>0)}, entonces {f(x)}  es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece {x_{0}}.

 

Si {f'(x)<0}, entonces {f(x)} es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece {x_{0}}.

 

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

 

Ejemplo de cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

 

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

 

{f(x)=\displaystyle\frac{x^3}{(x-1)^{2}}}

 

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

 

{(x-1)^{2}=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ D=\mathbb{R}-1}

 

Derivamos la función

 

{f'(x)=\displaystyle\frac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}}}

 

Igualamos la derivada a cero y obtenemos las raíces de la ecuación

 

{x=0, \ \ \ \ \ x=3}

 

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera y con los puntos de discontinuidad

 

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

 

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

 

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

 

Ejemplo de funciones crecientes y decrecientes

 

La función es creciente en los intervalos {(-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, \infty)}

 

 

La función es decreciente en los intervalos {(1, 3)}

 

 

dibujo de funcion decreciente en dos intervalos

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Gómez
Gómez
Invité
16 May.

Muy bueno, me sirvió de mucho.