Crecimiento y decrecimiento en un punto
Función estrictamente creciente
f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es positiva.
Función creciente
La tasa de variación es positiva o igual a cero.
f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
Función estrictamente decreciente
f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es negativa.
Función decreciente
f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
La tasa de variación es negativa o igual a cero.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:
1 Derivar la función.
2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad de la función original (si los hubiese).
4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x0) > 0, entonces f es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0.
Si f'(x0) < 0, entonces f es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0.
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función
Derivamos e igualamos la derivada a cero
Hallamos las raíces de la ecuación
Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera y con los puntos de discontinuidad
Sustituimos un valor de cada intervalo en la función
Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo
Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo
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