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Crecimiento y decrecimiento en un punto
Función estrictamente creciente
es estrictamente creciente en 
si sólo si existe un entorno 
de , tal que para toda 
que pertenezca al entorno de se cumple:
1 Si 
entonces 
2 Si 
entonces 
La tasa de variación es positiva, ya que si es estrictamente creciente en , entonces 
.
Función creciente
es creciente en si sólo si existe un entorno de , tal que para toda que pertenezca al entorno de se cumple:
1 Si entonces 
2 Si entonces 
La tasa de variación es positiva o igual a cero, ya que si es creciente en , entonces 
.
Función estrictamente decreciente
es estrictamente decreciente en si sólo si existe un entorno de , tal que para toda que pertenezca al entorno de se cumple:
1 Si entonces
2 Si entonces
La tasa de variación es negativa, ya que si es estrictamente decreciente en , entonces 
.
Función decreciente
es decreciente en si sólo si existe un entorno de , tal que para toda que pertenezca al entorno de se cumple:
1 Si entonces
2 Si entonces
La tasa de variación es negativa o igual a cero, ya que si es decreciente en , entonces 
.
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:
1 Derivar la función 
.
2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: 
.
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad de la función original (si los hubiese).
4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si 
, entonces es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece 
.
Si 
, entonces es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece .
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo de cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función
Derivamos la función
Igualamos la derivada a cero y obtenemos las raíces de la ecuación
Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera y con los puntos de discontinuidad
Sustituimos un valor de cada intervalo en la función
Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo
Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo
La función es creciente en los intervalos 
La función es decreciente en los intervalos 
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No es correcto que si la función es estrictamente creciente en el punto a, entonces su derivada será positiva. f(x) = x^3 es estrictamente creciente en x = 0, pero f´(0) = 0 ya que la tangente al gráfico en x = 0 es horizontal. Es suficiente que la derivada en el punto sea positiva para que la función sea creciente, pero no necesario.
Análogo para funciones estrictamente decrecientes.
Para decir que una función es estrictamente creciente se debe utilizar un intervalo no un punto, ahora si te fijas en el paso 3 de encontrar intervalos de crecimiento y decrecimiento se pide hacer intervalos abiertos con las raíces de la primer derivada y después se toman valores de los intervalos para sustituir en la derivada y ver si es positiva o negativa.
Si aplicamos esto al ejemplo f(x) = x^3 entonces x=0 es un punto critico o usando la segunda derivada un punto de inflexión donde deben considerarse los intervalos (-∞,0) y (0,∞) siendo este caso muy especial ya que la grafica cambia en ese punto x=0.
Buenos días me podrían decir como puedo saber si una funcion tiene intervalos o no
Depende del tipo de función, si tiene puntos donde no esa definida entonces si esta por intervalos.
si por ejemplo en mi ejercicio se especifica que
f(x) es creciente para -3<x<1
f(x) es decreciente para -1<=x<5
como puedo graficar eso?
podría decirme cual es el comportamiento de crecimiento y decrecimiento de la función parte entera?
Buen día.
La función parte entera trunca nuestro valor, esto significa que elimina los decimales, por ejemplo, cualquier número de la forma
lo manda a 
(
). Por lo tanto, podemos ver que, dados dos números 
y 
, tal que 
, si la parte entera es la misma, por ejemplo, 
y 
entonces 
(esto dado que en realidad 
. Ahora, si la parte entera no es la misma, entonces como 
, esto implica que la parte entera de 
es menor que la parte entera de 
, por lo tanto 
, esto dado que en realidad 
, entonces la función parte entera es una función monótona creciente en todo si dominio.
Saludos
Muy bueno, me sirvió de mucho.