Marta

28 febrero 2020

Temas

Crecimiento y decrecimiento en un punto
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Ejemplo de cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Crecimiento y decrecimiento en un punto

Función estrictamente creciente

${f}$ es estrictamente creciente en ${a}$ si sólo si existe un entorno ${E(a)}$ de ${a}$ , tal que para toda ${x}$ que pertenezca al entorno de ${a}$ se cumple:

1 Si ${x>a}$ entonces ${f(x)>f(a)}$

2 Si ${x<a}$ entonces ${f(x)<f(a)}$

La tasa de variación es positiva, ya que si ${f}$ es estrictamente creciente en ${a}$ , entonces ${f'(a)>0}$ .

Función creciente

${f}$ es creciente en ${a}$ si sólo si existe un entorno ${E(a)}$ de ${a}$ , tal que para toda ${x}$ que pertenezca al entorno de ${a}$ se cumple:

1 Si ${x>a}$ entonces ${f(x)\ge f(a)}$

2 Si ${x<a}$ entonces ${f(x)\le f(a)}$

La tasa de variación es positiva o igual a cero, ya que si ${f}$ es creciente en ${a}$ , entonces ${f'(a)\ge 0}$ .

Función estrictamente decreciente

${f}$ es estrictamente decreciente en ${a}$ si sólo si existe un entorno ${E(a)}$ de ${a}$ , tal que para toda ${x}$ que pertenezca al entorno de ${a}$ se cumple:

1 Si ${x>a}$ entonces ${f(x)<f(a)}$

2 Si ${x<a}$ entonces ${f(x)>f(a)}$

La tasa de variación es negativa, ya que si ${f}$ es estrictamente decreciente en ${a}$ , entonces ${f'(a)<0}$ .

Función decreciente

${f}$ es decreciente en ${a}$ si sólo si existe un entorno ${E(a)}$ de ${a}$ , tal que para toda ${x}$ que pertenezca al entorno de ${a}$ se cumple:

1 Si ${x>a}$ entonces ${f(x)\le f(a)}$

2 Si ${x<a}$ entonces ${f(x)\ge f(a)}$

La tasa de variación es negativa o igual a cero, ya que si ${f}$ es decreciente en ${a}$ , entonces ${f'(a) \le 0}$ .

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Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

1 Derivar la función ${f(x)}$ .

2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: ${ f'(x) = 0}$ .

3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad de la función original (si los hubiese).

4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si ${f'(x_{0}>0)}$ , entonces ${f(x)}$ es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece ${x_{0}}$ .

Si ${f'(x)<0}$ , entonces ${f(x)}$ es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece ${x_{0}}$ .

5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo de cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

${f(x)=\displaystyle\frac{x^3}{(x-1)^{2}}}$

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

${(x-1)^{2}=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ D=\mathbb{R}-1}$

Derivamos la función

${f'(x)=\displaystyle\frac{x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{3}}}$

Igualamos la derivada a cero y obtenemos las raíces de la ecuación

${x=0, \ \ \ \ \ x=3}$

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera y con los puntos de discontinuidad

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

La función es creciente en los intervalos ${(-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, \infty)}$

La función es decreciente en los intervalos ${(1, 3)}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Gómez

Mayo

Muy bueno, me sirvió de mucho.

Andrea

Agosto

podría decirme cual es el comportamiento de crecimiento y decrecimiento de la función parte entera?

Luis Ernesto Sanchez Perez

Septiembre

Buen día.

La función parte entera trunca nuestro valor, esto significa que elimina los decimales, por ejemplo, cualquier número de la forma $n.n_1n_2n_3...$ lo manda a $n$ ( $n_i \in \mathbb{Z}$ ). Por lo tanto, podemos ver que, dados dos números $a$ y $b$ , tal que $a < b$ , si la parte entera es la misma, por ejemplo, $a = n.0001$ y $b = n.9999$ entonces $f(a) \leq f(b)$ (esto dado que en realidad $f(a) = f(b)$ . Ahora, si la parte entera no es la misma, entonces como $a < b$ , esto implica que la parte entera de $a$ es menor que la parte entera de $b$ , por lo tanto $f(a) \leq f(b)$ , esto dado que en realidad $f(a) < f(b)$ , entonces la función parte entera es una función monótona creciente en todo si dominio.

Saludos

jus

Abril

si por ejemplo en mi ejercicio se especifica que
f(x) es creciente para -3<x<1
f(x) es decreciente para -1<=x<5
como puedo graficar eso?

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