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Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en  en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

 

f:D\rightarrow \mathbb{R}

x \rightarrow f(x)=y

 

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

 

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

 

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

 

y=f(x)

 

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

 

x\rightarrow \sqrt{x}

 

reprsentación gráfica de función y su imagen

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

 

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

 

D= \left \{ x\in \mathbb{R}/ \exists f(x) \right \}

 

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

 

\mathbb{R} = \left \{ f(x) / x \in D \right \}

 

Composición de funciones

 

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido de la primera, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

 

 

representación gráfica de funciones g(x), f(x) y g[f(x)]

 

 

f(x)= 2x
g(x)= 3x +1
(g \ o \ f )(x)=g\left [ f(x) \right ]=g(2x)=3(2x)+1=6x+1
(g \ o \ f )(1)=g\left [ f(x) \right ]=6 \cdot 1 +1=6+1=7

Dominio

 

D_{(g \ o \ f)}= \left \{ x \in D_f / f(x) \in D_g \right \}

 

Propiedades

 

1Asociativa.

 

f \ o \ (g \ o \ h)= (f \ o \ g) \ o \ h

 

2 No es conmutativa.

 

f \ o \ g \neq g \ o \ f

 

3El elemento neutro es la función identidad, i(x)=x.

 

f \ o \ i = i \ o \ f=f

 

Ejemplos de  coposición de funciónes

 

Sean las funciones:

 

1\displaystyle f(x)=3x+2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=\frac{x+3}{2x+1}

 

g \ o \ f = g[f(x)]=g(3x+2)=

 

\displaystyle \frac{3x+2+3}{2(3x+2)+1}=\frac{3x+5}{6x+5}

 

\displaystyle f \ o \ g = f[g(x)]=f \left (\frac{x+3}{2x+1} \right )=

 

\displaystyle 3 \left (\frac{x+3}{2x+1} \right )+2=\frac{7x+11}{2x+1}

 

 

2\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{2x+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=\sqrt{x}

 

\displaystyle g \ o \ f = g[f(x)]=g\left ( \frac{x+2}{2x+1} \right )=\sqrt{\frac{x+2}{2x+1}}

 

\displaystyle f \ o \ g = f[g(x)]= f\left ( \sqrt{x} \right )=\frac{\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+1}

 

 

2\displaystyle f(x)= \frac{1}{2x-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)= \frac{2x-1}{2x+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h(x)= \frac{1}{x}

 

\displaystyle g \ o \ f = g[f(x)]=g\left ( \frac{1}{2x-1} \right )=\frac{2\left ( \frac{1}{2x-1} \right )-1}{2\left ( \frac{1}{2x-1} \right )+1}=\frac{-2x+3}{2x+1}

 

 

\displaystyle h \ o \ g \ o \ f = h[g \ o \f(x)]= h\left ( \frac{-2x+3}{2x+1} \right )=\frac{1}{\frac{-2x+3}{2x+1}}=\frac{2x+1}{-2x+3}

Función inversa o recíproca

 

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f^{-1} que cumple que:

Si f(a)=b, entonces f^{-1}(b)=a.

 

 

representación gráfica de la función inversa o reciproca

 

 

Podemos observar que:

 

El dominio de f^{-1} es el recorrido de f.

El recorrido de f^{-1} es el dominio de f.

 

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

 

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

 

f \ o \ f^{-1}=f^{-1} \ o \ f=x

 

Las gráficas de f y f^{-1} son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

 

 

Representación gráfica de f(x) y su función inversa, paralelas

 

Hay que distinguir entre la función inversa, f^{-1}(x) y la inversa de una función, \displaystyle \frac{1}{f(x)}.

Pasos del cálculo de la función inversa

 

1 Se escribe la ecuación de la función en x e y.

2 Se despeja la variable x en función de la variable y.

3 Se intercambian las variables.

Ejemplos de cálculo de la función inversa

 

1 \displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x-1}

 

Priumero, escribimos la ecuación de la función en x e y.

 

\displaystyle y =\frac{2x+3}{x-1}

 

Hacemos las operaciones.

 

y(x-1)=2x+3

xy - y=2x+3

xy - 2x=y+3

x(y-2)=y+3

 

\displaystyle x=\frac{y+3}{y-2}

 

\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{y+3}{y-2}

 

Vamos a comprobar el resultado para x=2

 

\displaystyle f(2)=\frac{7}{1}= 7

\displaystyle f^{-1}(7)=\frac{10}{5}= 2

 

2 f(x)=\sqrt[3]{x-1}

 

y=\sqrt[3]{x-1}

y^{3}=x-1

x= y^{3}+ 1

f^{-1}(x)=x^{3}+1

 

2 f(x)=x^{2}

 

y=x^{2}

x=\pm \sqrt{y}

f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x}

 

No es una función.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗