En este apartado estudiaremos una clase particular de discontinuidad. Dicha clase de discontinuidad la llamamos discontinuidad de primer especie y se define de la siguiente manera:

Dada una función f(x), decimos que tiene una discontinuidad inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en un punto  x=a, pero estos limites son distintos, es decir,

    $$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x).$$

Salto

 

Definimos el salto de una función  f(x)  en un punto  x=a,  como la diferencia en valor absoluto de los límites laterales, esto es,

    $$|\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)-\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)|.$$

Notemos que este valor puede ser finito o infinito. Así según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:

Discontinuidad inevitable de salto finito

 

Se refiera a que la diferencia entre los límites laterales es un número real.

 

    $$|\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)-\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)|=k,\quad k\in\mathbb{R}.$$

Ejemplo

Consideremos la siguiente función en el punto x=2,

    $$f(x)=\begin{cases}x^{2},&\text{si }x<2\\ 1,&\text{si }x\geq 2 \end{cases}$$

Notemos que el valor de f en x=2, es f(x)=1. Podemos calcular los limites laterales, solo observando que valor toma la función en cada parte su dominio

    $$\lim_{x\rightarrow 2^{-}}x^{2}=4.$$

    $$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}1=1.$$

Dados estos valores podemos calcular el salto de la función en x=2,

Salto = |4 - 1| =3.

De esta forma concluimos que: en x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.

Discontinuidad inevitable de salto finito

 

Se refiere a que la diferencia entre los límites laterales es infinita.

    $$|\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)-\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)|=\infty.$$

Ejemplo

Consideremos la siguiente función en el punto x=2,

    $$f(x)=\begin{cases}x^{2},&\text{si }x\leq 2\\ \cfrac{2}{x-2},&\text{si }x> 2 \end{cases}$$

Notemos que el valor de f en x=2, es f(x)=4. Podemos calcular los limites laterales, solo observando que valor toma la función en cada parte su dominio

    $$\lim_{x\rightarrow 2^{-}}x^{2}=4.$$

    $$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\cfrac{2}{x-2}=\infty.$$

El limite lateral por la derecha es infinito por tanto el salto de la función en x=2 también es infinito ,

 

Salto = |4 - \infty| =\infty.

De esta forma concluimos que: en x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

Discontinuidad inevitable de salto infinito

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗