Ejercicios sobre las gráficas y dominios de las funciones definidas a trozos

 

Para las siguientes funciones, dibuja su gráfica y determina su dominio y rango.

 

1 \displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x > 0\\4 - 2x & \text{si } x < 0\end{cases}

 

Notemos que en el intervalo (0, \infty) —es decir, del lado derecho del plano— tenemos la función 2x + 4.

 

Por otro lado, en el intervalo (-\infty, 0) —lado izquierdo del plano—, tenemos la función 4 - 2x.

 

Por tanto, la gráfica es como se muestra en la siguiente figura:

 

Gráfica de una función definida a trozos

 

Como mencionamos anteriormente, la función está definida para (0, \infty) y para (-\infty, 0). Por lo tanto, el dominio es

 

\displaystyle D = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}

 

Por otro lado, de la gráfica podemos ver que el rango es

 

\displaystyle R = (4, \infty)

 

2 \displaystyle f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \leq 1\\x & \text{si } 1 < x \leq 3\\-x + 6 & \text{si } 3 < x \leq 6\\0 & \text{si } 6 < x\end{cases}

 

Notemos que la función está definida para cuatro regiones distintas. Primero, para el intervalo (-\infty, 1] tiene el valor 1. Luego, para el intervalo (1, 3] tiene el valor de x y así sucesivamente.

 

Por tanto, la gráfica es como se muestra en la siguiente figura:

 

Gráfica de una Función definida a trozos

 

Luego, notemos que el dominio es

 

    \begin{align*} D & = (-\infty, 1] \cup (1, 3] \cup (3, 6] \cup (6, \infty)\\& = \mathbb{R}\end{align*}

 

Por otro lado, notemos que el rango es

 

    \begin{align*} R & = \{ 1 \} \cup (1, 3] \cup [0, 3) \cup \{ 0 \}\\& = [0, 3]\end{align*}

 

3 \displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 2\\1 & \text{si } x = 2\\4 & \text{si } x > 2\end{cases}

 

Si graficamos las expresiones para cada una de las regiones dada, obtenemos la siguiente gráfica:

 

Gráfica de la función definida a trozos

 

Además, el dominio está dado por

 

\displaystyle D = (-\infty, 2) \cup \{ 2 \} \cup (2, \infty) = \mathbb{R}

 

Luego, el rango está dado por

 

\displaystyle R = [0, \infty) \cup \{ 1\} \cup \{ 4\} = [0, \infty)

 

4 f(x) = \text{sgn}(x)

 

Recordemos que \text{sgn}(x) es la función signo, la cual está definida como

 

\displaystyle \text{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x < 0\\0 & \text{si } x = 0\\1 & \text{si } x > 0\end{cases}

 

Por lo tanto, la gráfica está dada por la siguiente figura:

 

Gráfica de la función definida en intervalos

 

Además, el domino es

 

\displaystyle D = (-\infty, 0) \cup \{ 0 \} \cup (\infty, 0) = \mathbb{R}

 

Mientras que el rango es

 

\displaystyle R = \{ -1 \} \cup \{ 0 \} \cup \{ 1 \} = \{-1, 0, 1\}

 

5 f(x) = \lfloor x \rfloor

 

Recordemos que la función \lfloor x \rfloor se conoce como función piso y se define como el mayor entero n tal que n \leq x. Por ejemplo:

 

1 \lfloor 0.9 \rfloor = 0

 

2 \lfloor 1.6 \rfloor = 1

 

3 \lfloor 2 \rfloor = 2

 

4 \lfloor -4.5 \rfloor = -5

 

Por lo tanto, la gráfica se muestra en la siguiente figura:

 

Gráfica de una función definida en intervalos

 

Observemos que el dominio de la función es

 

\displaystyle D = \mathbb{R}

 

mientras que el rango es

 

\displaystyle R = \mathbb{Z}

 

6 f(x) = x - \lfloor x \rfloor

 

En este caso a cada x le estamos restando \lfloor x \rfloor que es la parte entera. Por lo tanto, el resultado de f(x) es la parte decimal de x. Así, la gráfica es la siguiente:

 

Gráfica de la función definida en intervalos

 

esta gráfica se suele conocer como "diente de sierra".

 

Asimismo, observemos que se satisface que

 

\displaystyle 0 \leq f(x) = x - \lfloor x \rfloor < 1

 

El dominio está dado por D = \mathbb{R} y el rango está dado por

 

\displaystyle R = [0, 1)

 

7 f(x) = x + 1 - \lfloor x \rfloor

 

Notemos que esta función es exactamente la misma que la anterior, pero sumándole 1. Por lo tanto, la gráfica es

 

Gráfica de una función definida a intervalos

 

El dominio es el mismo, D = \mathbb{R}; mientras que el rango es

 

\displaystyle R = [1, 2)

 

8 f(x) = 2x - \lfloor x \rfloor

 

Esa función podemos verla como x - \lfloor x \rfloor + x. Por lo tanto, a la función de la parte decimal de x le sumamos x. Esta gráfica se ve como sigue:

 

Gráfica de una función definida a trozos 8

 

Luego, el dominio también es D = \mathbb{R}; mientras que el rango ahora es R = \mathbb{R} (lo cual lo podemos observar en la gráfica).

 

9 f(x) = \lfloor x/2 \rfloor

 

Observemos que ahora dividimos primero por 2, y luego obtenemos la parte entera. Por lo tanto, se trata de una especie de "escalamiento" de la función piso. Es como si estiráramos la gráfica horizontalmente.

 

La gráfica se muestra en la siguiente figura:

 

Graficación de una función definida a trozos

 

Sin embargo, el dominio y el rango son el mismo que para la función piso:

 

\displaystyle D = \mathbb{R}

 

y

 

\displaystyle R = \mathbb{N}

 

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Determinación de la función a partir de la gráfica

 

10 Observa la siguiente gráfica y determina la expresión analítica de la función que describe.

 

Graficación de la función definida a trozos

 

La función f(x) será la función definida a trozos. Las funciones f_1(x), f_2(x), etcétera serán funciones auxiliares que estarán definidas en partes del dominio.

 

1 Primero, observemos que en el intervalo (-\infty, 0) tenemos una recta con pendiente negativa. De hecho, se trata de la función

 

\displaystyle f_1(x) = -x

 

2 Luego, f(1) = 1.

 

3 Después, en el intervalo (0, 2) tenemos la función f_2(x) = x.

 

4 La función no está definida en el intervalo [2, 3).

 

5 Por último, en el intervalo [3, \infty) la función es constante:

 

\displaystyle f_3(x) = 1

 

Por tanto, la función está dada por

 

\displaystyle f(x) = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0\\1 & \text{si } x = 0\\x & \text{si } 0 < x < 2\\1 & \text{si } x \geq 3\end{cases}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗