Una pequeña noción sobre funciones

 

Hay muchas cosas en la vida diaria que se relacionan entre sí, por ejemplo, el tamaño de una casa con su precio, la edad de una persona con su condición física, el tráfico en una ciudad y el número de coches que hay en ella, incluso el precio de un servicio de taxi ejecutivo y la demanda que existe en ese momentos (Uber). Estos son ejemplos de "funciones" que se presentan día a día y podríamos no darnos cuenta.

 

De forma informal, podríamos ver una función como una máquina a la cual le damos un objeto y ésta nos arroja otro objeto, como si fuera una máquina dispensadora de golosinas, le arrojamos el dinero, seleccionamos el producto y está nos despacha.

 

Imagen informal de función

 

Esto nos da una noción sobre qué sería una función, un tipo de máquina que relaciona objetos, ¿qué objetos? Los que le damos con los que nos regresa. Sin embargo, de manera formal, el concepto de función debe cumplir ciertas restricciones (propiedades), una de ellas es, por ejemplo, que cada que le demos un objeto, la función solo debe devolvernos un único objeto; sería muy raro darle una moneda y pedirle un chocolate a una máquina dispensadora de golosinas y que ésta nos arroje un chocolate, unas galletas y hasta un refresco, ¿no?

 

 

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Definición de relación y de función

 

Para poder definir formalmente qué es una función, primero debemos definir una relación entre conjuntos.

 

Dados dos conjuntos A y B, llamamos relación de \quad A \quad en \quad B \quad cualquier correspondencia que haya entre algunos de los elementos de \quad A \quad con los elementos de \quad B.

 

Ejemplos

 

1. Consideremos los conjunto \quad A = \{ -1, 3, 6, 2 \} \quad y \quad B = \{ 1, -1, 3, -3, 6, -6, 5, 9\} \quad, y la relación dada por la siguiente imagen

 

representacion grafica de relacion entre los conjuntos A y B

 

Notemos que no todos los elementos de \quad A \quad están relacionados con elementos de \quad B, por ejemplo, el elemento \quad 2 \in A \quad no tiene imagen en \quad B.

 

Nota. En una relación no es necesario que todos los elementos de ambos conjuntos estén relacionados.

 

También podemos escribir la relación como un conjunto, en este caso la relación estaría dada por el conjunto \quad R = \{ (-1, 1), (-1, -1), (3, -3), (3, 3), (6, -6), (6, 6)\}. Notemos que, para cada par ordenado, la primer entrada, contando de izquierda a derecha, es un elemento de \quad A, mientras que el de la segunda entrada es el elemento de \quad B \quad con el cual se relaciona.

 

2. Consideremos los conjunto \quad A = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} \quad y \quad B = \{0, 1, 4\} \quad, y la relación dada por la siguiente imagen

 

la relacion entre los conjuntos A y B representacion grafica

 

En este caso, todos los elementos de \quad A \quad están relacionados con elementos de \quad B.

 

Esta relación dada como conjunto estaría dada por \quad R = \{ (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4)\}.

 

Ahora que sabemos qué es una relación, podemos definir una función entre conjuntos.

 

Dados dos conjuntos \quad A \quad y \quad B, una función de \quad A \quad en \quad B \quad es una relación que cumple las siguientes dos propiedades:

 

  • Todo elemento del conjunto \quad A \quad debe de estar relación con un elemento del conjunto \quad B.

 

  • Ningún elemento del conjunto \quad A \quad debe de estar relación con mas de un elemento del conjunto \quad B.

 

Estas dos propiedades pueden reducirse a decir que todo elemento del conjunto \quad A \quad debe de estar relación con un único elemento del conjunto \quad B.

 

Dada una función de un conjunto \quad A \quad en un conjunto \quad B, al conjunto \quad A \quad se le conoce como dominio, mientras que al conjunto \quad B \quad como codominio (o contradominio).

 

Usualmente a una función se le denota por \quad f \quad y para denotar que esta va de un conjunto \quad A \quad en un conjunto \quad B \quad escribimos

 

f: A \to B.

 

Además, si \quad x \quad es un elemento en \quad A \quad, entonces, al elemento con el cual se relaciona en \quad B \quad lo denotamos por

 

y = f(x),

 

esto lo podemos interpretar como \quad x \quad el cual se relaciona con \quad y \quad bajos las reglas dadas por \quad f \quad.

 

Cuando utilizamos la notación \quad y = f(x), a \quad x \quad la conocemos como la variable independiente, mientras que a \quad y \quad la conocemos como la variable dependiente.

 

Ejemplos

 

1. El ejemplo 1 de relaciones no es una función ya que hay elementos del dominio, \quad A, que no están relacionados con ningún elemento del codominio, \quad B. Además, hay elementos en \quad A que se relacionan con más de un elemento en \quad B.

 

2. El ejemplo 2 de relaciones sí es una función ya que todos los elementos del dominio, \quad A, están relacionados con un único elemento del codominio, \quad B. De hecho, en este caso, podemos ver que, para todo \quad x \in A, su relación con los elementos \quad y \in B \quad está dada por \quad y = f(x) = x^2.

 

3. Consideremos el conjunto \quad A = \mathbb{N} \quad, al conjunto \quad B = \mathbb{R} \quad y a \quad f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \quad dada por \quad y = f(x) = \sqrt{x} \quad. ¿Es una función? Bueno, eso depende, veamos por qué.

 

representacion grafica de relacion entre conjuntos A y B

 

  • Primero, notemos que para todo número, por ejemplo, \quad 9 \quad, se tiene que \quad \sqrt{9} = \pm 3 , esto ya que \quad 3^2 = (-3)^2 = 9. Por lo tanto, en este caso, para cada elemento del dominio le estaríamos asignando dos elementos del codiminio y no sería una función.

 

  • Sin embargo, cuando se habla de la raíz de un número, solemos considerar únicamente la parte positiva, por lo tanto, a menos que se especifique lo contrario, para todo número, por ejemplo, \quad 9 \quad, se tendrá que \quad \sqrt{9} = 3. Así, tendríamos que \quad f(x) = \sqrt{x} \quad sí es una función ya que por lo mencionado tendríamos una única correspondencia para todo elemento en el dominio, además, como definimos de un inicio \quad f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} ya estamos considerando todo el dominio \quad \mathbb{N}.

 

  • Si queremos considerar únicamente la parte negativa de la raíz, debemos definir \quad f(x) = -\sqrt{x} \quad, en este caso, al igual que en el anterior, también tendríamos una función.

 

Si una función cumple que tanto su dominio como su codominio son subconjuntos de los reales (A, B \subseteq \mathbb{R}), entonces decimos que tenemos una función real.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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