1 La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

 

C(x) = 0.01 x^3 - 0.45 x^2 + 2.43 x + 300

 

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

 

Derivamos

 

C'(x) = 0.03 x^2 - 0.90 x + 2.43

 

Igulamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación

 

\begin{array}{rcl} 0.03 x^2 - 0.90 x + 2.43 & = & 0 \\\\ 0.03 (x^2 - 30x + 81) & = & 0  \\\\ (x - 3)(x - 27) & = & 0 \end{array}

 

Las raíces son x = 3 y x = 27

 

Calculamos la segunda derivada

 

C''(x) = 0.06 x - 0.90

 

Calculamos el signo que toman la raíces de la derivada primera

 

\begin{array}{rcl}C''(3) = 0.03 \cdot 3 - 0.90 < 0  & \Longrightarrow & \mbox{máximo}  \\\\ C''(27) = 0.03 \cdot 27 - 0.90 > 0  & \Longrightarrow & \mbox{mínimo} \end{array}

 

2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

 

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

 

(1, 3), \ (3, 27), \ (27, 30)

 

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera:

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

\begin{array}{rcl} C'(2) = 0.03 \cdot 2^2 - 0.90 \cdot 2 + 2.43 > 0 & \Longrightarrow & \nearrow  \\\\   C'(4) = 0.03 \cdot 4^2 - 0.90 \cdot 4 + 2.43 < 0 & \Longrightarrow & \searrow  \\\\  C'(28) = 0.03 \cdot 28^2 - 0.90 \cdot 28 + 2.43 < 0 & \Longrightarrow & \nearrow  \end{array}

 

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

 

 

 

2 Supongamos que el rendimiento r en \% de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

 

r(t) = 300t (1 - t).

 

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

 

Derivamos

 

r'(t) = 300 - 600 t

 

Igulamos la derivada a cero y hallamos las raíces de la ecuación

 

\begin{array}{rcl} 300 - 600 t & = & 0 \\\\ 300 (1 - 2t) & = & 0 \end{array}

 

La raíz es t = \cfrac{1}{2}

 

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera

 

\left(0, \cfrac{1}{2} \right), \ \left(\cfrac{1}{2}, 1 \right)

 

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera:

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo.

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo.

 

\begin{array}{rcl} r'\left(\cfrac{1}{3}\right) = 300 - 600 \cdot \cfrac{1}{3} > 0 & \Longrightarrow & \nearrow \\\\ r'\left(\cfrac{2}{3}\right) = 300 - 600 \cdot \cfrac{2}{3} < 0 & \Longrightarrow & \searrow \end{array}

 

Así la función es creciente en \left(0, \cfrac{1}{2} \right) y decreciente en \left(\cfrac{1}{2}, 1 \right).

 

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

 

El rendimiento es nulo cuando r = 0.

 

300t (1 - t) = 0.

 

Las raíces son t = 0 y t = 1.

 

así el rendimiento es nulo al inicio y al final de la prueba.

 

3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

 

Calculamos la segunda derivada

 

r''(t) = -600

 

La segunda derivada siempre es negativa, por lo que r''\left( \cfrac{1}{2} \right) < 0 y se tiene un máximo

 

Calculamos la segunda coordenada del máximo

 

r\left( \cfrac{1}{2} \right) = 300\left( \cfrac{1}{2} \right) \left(1 - \cfrac{1}{2} \right) = 75

 

Así el mayor rendimiento se obtiene a la mitad de la prueba y es de 75

 

 

 

3Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4 en su punto de inflexión.

1 Calculamos la derivada

 

f'(x) = 6x^2 - 12x

 

2 Calculamos la segunda derivada

 

f''(x) = 12x - 12

 

3 Igualamos la segunda derivada a cero para obtener el punto de inflexión

 

12x - 12 = 0

 

de donde obtenemos x = 1

 

Calculamos la tercera derivada y evaluamos x = 1

 

f'''(x) = 12

 

f'''(1) = 12 \neq 0

 

f(1) = 0

 

Así la función tiene un punto de inflexión en (1, 0).

 

4 Calculamos la recta tangente en el punto de inflexión, para lo cual requerimos la pendiente

 

f'(1) = 6(1)^2 - 12(1) = -6

 

Aplicando la fórmula punto pendiente se obtiene

 

\begin{array}{rcl} y - 0 & = & -6(x - 1) \\\\ y & = & -6x + 6 \end{array}

 

La recta tangente que pasa por el punto de inflexión es y = -6x + 6

 

 

 

4 Determinar a, b y c para que la función f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tenga un máximo para x = -4, un mínimo para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.

1 Calculamos la derivada

 

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

 

2 Como la función tiene un máximo en x = -4 y un mínimo en x = 0, entoces la derivada es cero en estos puntos. Sustituimos y obtenemos dos ecuaciones

 

f'(-4) = 48 - 8a + b = 0  \ \ \  \Longrightarrow  \ \ \  8a - b = 48

 

f'(0) = b = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 0

 

Sustituimos el valor de b = 0 en la primera ecuación y se obtiene a = 6

 

3 Como la función toma el valor 1 para x = 1

 

f(1) = (1)^3 + 6(1)^2 + c = 1

 

de donde obtenemos c = -6. Luego la función es

 

f(x) = x^3 + 6x^2 - 6

 

4 Calculamos la segunda y evaluamos los puntos críticos

 

f''(x) = 6x + 12

 

f''(-4) < 0 , entonces tiene un máximo

 

f''(0) > 0 , entonces tiene un mínimo

 

 

 

5 Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

1 Calculamos la derivada

 

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

 

2 Como la función tiene un máximo en x = 0 y un mínimo en x = 2, entonces la derivada es cero en estos puntos. Sustituimos y obtenemos dos ecuaciones

 

f'(0) = c = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = 0

 

f'(2) = 12a + 4b = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3a + b = 0

 

3 Como f(0) = 4 y f(2) = 0, se obtienen las ecuaciones

 

f(0) = d = 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ d = 4

 

f(2) = 8a + 4b + 4 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 2a + b = -1

 

4 Resolvemos el sistema \left \{ \begin{array}{l} 3a + b = 0 \\ 2a + b = -1 \end{array} \right.

 

Obtenemos a = 1 y b = -3. Luego la función es

 

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

 

5 Calculamos la segunda y evaluamos los puntos críticos

 

f''(x) = 6x - 6

 

f''(0) < 0 , entonces tiene un máximo

 

f''(2) > 0 , entonces tiene un mínimo

 

 

 

6 Determinar el valor de a, b, c, d y e de modo que la curva f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0,0).

1 Calculamos la derivada

 

f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

 

2 Como la función tiene un punto crítico en x = 1, entonces la derivada es cero en este punto. Sustituimos y obtenemos la ecuación

 

f'(1) = 4a + 3b + 2c + d = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4a + 3b + 2c + d = 0

 

3 Como f(0) = 0 y f(1) = 3, se obtienen las ecuaciones

 

f(0) = e = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0 = 0

 

f(1) = a + b + c + d = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a + b + c + d = 3

 

4 Calculamos la segunda derivada y evaluamos el punto de inflexión en ella

 

f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f''(0) = 2c = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = 0

 

5 La derivada evaluada en cero coincide con la pendoente de la recta tangente en (0, 0)

 

f'(0) = d = 2

 

6 Resolvemos el sistema \left \{ \begin{array}{l} 4a + 3b = -2 \\ a + b = 1 \end{array} \right.

 

Obtenemos a = -5 y b = 6. Luego la función es

 

f(x) = -5x^4 + 6x^3 + 2x

 

 

 

7 La curva f(x) = x^3 + ax^2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en \left ( \cfrac{2}{3}, \cfrac{1}{9} \right ). Hallar a, b y c.

1 Calculamos la segunda derivada y evaluamos el punto de inflexión

 

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

 

f''(x) = 6x + 2a

 

f'' \left ( \cfrac{2}{3} \right ) = 6 \cdot \cfrac{2}{3} + 2a = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = -2

 

2 Evaluamos la función en el punto de inflexión y se obtiene

 

f \left ( \cfrac{2}{3} \right ) = \left ( \cfrac{2}{3} \right )^3 - 2 \cdot \left ( \cfrac{2}{3} \right )^2 + b \cdot \left ( \cfrac{2}{3} \right ) + c = \cfrac{1}{9} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 18b + 27c = 19

 

3 Como f(3) = 0, se obtiene la ecuación

 

f(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3b + c = -9

 

4 Resolvemos el sistema \left \{ \begin{array}{l} 18b + 27c = 19 \\ 3b + c = -9 \end{array} \right.

 

Obtenemos b = -\cfrac{262}{63} y c = \cfrac{73}{21}. Luego la función es

 

f(x) = x^3 - 2x^2 - \cfrac{262}{63} x + \cfrac{73}{21}

 

 

 

8 Dada la función:

 

f(x) = \cfrac{x^2 + ax + b}{x^2 + ax + c}

 

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, -1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

1 Calculamos la derivada

 

f'(x) = \cfrac{(2x + a)(x^2 + ax + c) - (2x + a)(x^2 + ax + b)}{(x^2 + ax + c)^2} = \cfrac{(2x + a)(c - b)}{(x^2 + ax + c)^2}

 

2 La derivada es cero en x = 2

 

f (2) = \cfrac{(4 + a)(c - b)}{(4 + 2a + c)^2} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = -4, \ b - c = 0

 

pero no se puede cumplir que b - c = 0 ya que la función sería f(x) = 1 y no se cumple la condición de que la función pasa por el origen

 

3 Como f(0) = 0 y f(2) = -1, se obtienen las ecuaciones

 

f(0) = \cfrac{b}{c} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 0

 

f(2) = \cfrac{4 - 8 + 0}{4 - 8 + c} = -1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = 8

 

Luego la función es

 

f(x) = \cfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 4x + 8}

 

 

 

9 Hallar a y b para qué la función: f(x) = a \cdot ln x + bx^2 + x tenga extremos en los puntos x = 1 y x = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

1 Calculamos la derivada y evaluamos x = 1 y x = 2, en estos puntos la derivada es cero ya que son puntos extremos

 

f'(x) = \cfrac{a}{x} + 2bx + 1

 

f'(1) = a + 2b + 1 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a + 2b = -1

 

f'(2) = \cfrac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a + 8b = -2

 

4 Resolvemos el sistema \left \{ \begin{array}{l} a + 2b = -1 \\ a + 8b = -2 \end{array} \right.

 

Obtenemos a = -\cfrac{2}{3} y b = -\cfrac{1}{6}. Luego la función es

 

f(x) = -\cfrac{2}{3} \cdot ln x - \cfrac{1}{6}x^2 + x

 

5 Calculamos la segunda derivada y evaluamos x = 1 y x = 2

 

f''(x) = \cfrac{2}{3x^2} - \cfrac{2}{3}

 

f''(1) = \cfrac{2}{3} - \cfrac{1}{3} > 0, entonces se tiene un mínimo en x = 1

 

f''(2) = \cfrac{1}{6} - \cfrac{1}{3} < 0, entonces se tiene un máximo en x = 2

 

 

 

10 Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x + 1.

1 Calculamos la derivada

 

f'(x) = 3x^2 - 6x + 7

 

2 Calculamos la segunda derivada

 

f''(x) = 6x - 6

 

3 Igualamos la segunda derivada a cero para obtener el punto de inflexión

 

6x - 6 = 0

 

de donde obtenemos x = 1

 

Calculamos la tercera derivada y evaluamos x = 1

 

f'''(x) = 6

 

f'''(1) = 6 \neq 0

 

f(1) = 6

 

Así la función tiene un punto de inflexión en (1, 6).

 

4 Calculamos la recta tangente en el punto de inflexión, para lo cual requerimos la pendiente

 

f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 7 = 4

 

Aplicando la fórmula punto pendiente se obtiene

 

\begin{array}{rcl} y - 6 & = & 4(x - 1) \\\\ y & = & 4x + 2 \end{array}

 

La recta tangente que pasa por el punto de inflexión es y = 4x + 2

 

Aplicando la fórmula punto pendiente para la pendiente -\cfrac{1}{4} de la recta normal, se obtiene

 

\begin{array}{rcl} y - 6 & = & -\cfrac{1}{4}(x - 1) \\\\ y & = & -\cfrac{x}{4} + \cfrac{25}{4} \end{array}

 

La recta normal que pasa por el punto de inflexión es y = -\cfrac{x}{4} + \cfrac{25}{4}

 

 

 

11 La cantidad f(x) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día es una ley del tipo:

 

f(x) = \cfrac{x^3}{3} - 19x^2 + 352x + 100

 

donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:

1 ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

4 ¿Cuándo entrega el mayor premio?

1 Entre 0 y 24 la función es distinta de cero, por lo cual la máquina siempre tiene monedas.

 

Hay un mínimo absoluto en (0, 100).

 

2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

 

Ganancia: f(24) - f(0)= 2212 - 100 = 2112

 

3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

 

Calculamos la derivada

 

f'(x) = x^2 - 38x + 352

 

Igualamos la derivada a cero

 

x^2 - 38x + 352 = 0

 

se obtiene x = 16 y x = 22

 

4 Calculamos la segunda derivada y evaluamos x = 16 y x = 22

 

f''(x) = 2x - 38 = 0

 

f''(16) = 32 - 38 < 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 16 es un máximo

 

f''(22) = 44 - 38 > 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 22 es un mínimo

 

así, la recaudación es máxima a las 16 horas y es mínima a las 22 horas

 

5 ¿Cuándo entrega el mayor premio?

 

El mayor premio será igual al punto de inflexión

 

f''(x) = 2x - 38 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 19

 

f'''(19) = 2 \neq 0

 

así, el mayor premio se entrega a las 19 horas

 

 

 

12 Sea f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x = 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45^o con el eje OX.

1 Calculamos la primera y segunda derivada

 

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

 

f''(x) = 6x + 2a

 

2 Como la función tiene un punto de inflexión en x = 1, entonces la derivada es cero en este punto. Sustituimos y obtenemos

 

f''(1) = 6 \cdot 1 + 2a = 0  \ \ \  \Longrightarrow  \ \ \  a = -3

 

3 Como la recta tangente en x = 1 forma un ángulo de 45^o y su pendiente es igual a la tangente de este ángulo, se tiene

 

f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + b = tan \, 45^o = 1 \ \ \  \Longrightarrow  \ \ \  b = 4

 

Luego la función es

 

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 7

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗