Límite de una función en un punto

 

El límite de la función f(x) en el punto x_0, es el valor al que se acercan las imágenes (las f(x)=y, puntos del codominio) cuando los puntos del dominio (las x) se acercan al valor x_0. Es decir, diremos que L es el límite de f(x) cuando los puntos del dominio xtienden a f(x) es L.

A la proposición L es el límite de f(x) cuando x tiende a x_0, la denotamos así:

{ L=\lim_{x\rightarrow x_0 }f(x) }

 

Ejemplo de límite de una función en un punto

 

Vamos a estudiar el límite de la función f(x)=x^{2} en el punto x_0=2

 

x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
2 4

 

x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
2 4

 

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4. Por tanto, el límite de la función en 2 es L=4.

 

Se dice que la función f(x)tiene como límite el número {L\in\mathbb{R}}, cuando xtiende a x_0, si fijado un número real positivo \varepsilon , mayor que cero, existe un numero positivo \delta dependiente de \varepsilon , tal que, para todos los valores de xdistintos de x_0 que cumplen la condición \left | x-x_0 \right |< \delta , se cumple que \left | f(x)-L \right |< \varepsilon .

Esto es,

{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L \qquad \Leftrightarrow \qquad \exists \delta (\varepsilon )>0 \quad\mid\quad 0<\left | x-x_0 \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |<\varepsilon }

 

La idea gráfica es la siguiente:

 

representacion gráfica del límite de una función en x

 

Definición de límite de una función en un punto a través de entornos

 

{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L } si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio  \varepsilon , existe un entorno de x_0, E_\delta (x_0), cuyos elementos (sin contar x_0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, E_\varepsilon(L).

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗