Definiciones de límites de funciones

 

Diremos que el límite de una función \displaystyle f(x) cuando \displaystyle x  tiende hacia \displaystyle a  por la izquierda es \displaystyle L .

\displaystyle \lim_{x \to a^{-}}f(x)=L  

 

si y sólo si para todo  \displaystyle \varepsilon > 0   existe \displaystyle \delta > 0   tal que para todo \displaystyle x \in \left ( a-\delta, a \right ) entonces

 

\displaystyle \left | f(x)-L \right |<\varepsilon .
Es decir:

 

\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = L

 

\displaystyle \Leftrightarrow

 

\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \hspace{0.25cm} \exists \delta >0 \hspace{0.25cm}\text{tal que} \hspace{0.25cm} \forall x \in (a- \delta, a) \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

 

Diremos que el límite de una función \displaystyle f(x) cuando \displaystyle x tiende hacia \displaystyle a  por la derecha es \displaystyle L

\displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)=L

 

si y sólo si para todo  \displaystyle \varepsilon > 0   existe \displaystyle \delta > 0   tal que para todo \displaystyle x \in \left ( a, a+\delta \right )   entonces \displaystyle \left | f(x)-L \right |<\varepsilon .
Es decir:

\displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)=L

 

\displaystyle \Leftrightarrow

 

\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \hspace{0.25cm} \exists \delta >0 \hspace{0.25cm}\text{tal que} \hspace{0.25cm} \forall x \in (a,a+\delta) \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon
 

Si el límite de una función en un punto existe, este es único.

 

Ejemplos de funciones, limites, y gráficas

1   Sea

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} & si & x< 2 \\ 4& si & x> 2 \end{matrix}\right.

 

cuya gráfica es:

 

 

Ejemplo de grafica de funcion con limites laterales

 

Al acercarnos al circulo sobre la curva roja podemos observar que:

 

\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}x^2=4

 

Al acercarnos al circulo sobre la recta verde podemos observar que:

 

\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}4=4

 

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando \displaystyle x \to 2  es \displaystyle 4.

El límite de la función es \displaystyle 4 por ser iguales los dos límites laterales, aunque la función no tenga imagen en \displaystyle x=2 . Este hecho muestra que un límite se trata de un proceso de aproximación infinitesimal, y no de sustitución directa en el valor al que se le aproxima

 

Desde otro punto de vista podemos decir, para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

 

2 Consideremos a la función definida de la siguiente manera

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & si & x<0 \\ 0 & si & x=0 \\ 1 & si & x>0 \end{matrix}\right.

 

su gráfica es:

ejemplo de grafica de funcion

 

Si calculamos el límite lateral por la izquierda al cero tenemos

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}(-1)=-1

 

y el límite lateral por la derecha al cero tenemos

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}(1)=1

 

como observamos ahora son distintos, significa que el límite cuando \displaystylex \to 0   NO existe, sin embargo la función SÍ esta definida en cero \displaystyle f(x)=0 , recalcando que el límite es un concepto distinto a la evaluación.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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