Hallar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en cada uno de los siguientes ejercicios:

 

 

1 {f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}+2}{x-2}}

 

Asíntota horizontal 

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}+2}{x-2}=\infty, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{2}+2}{x-2}=-\infty}

 

Concluimos que no existen asíntotas horizontales.

 

Asíntota vertical

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {2}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^{2}+2}{x-2}=\infty}

 

La función tiene una asíntota vertical {x=2}

 

Asíntota oblícua

 

Calculamos mediante límites le pendiente y ordenada al origen de las asíntotas oblícuas

 

{m=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}+2}{x^{2}-2x}=1}

 

{b=\displaystyle\lim_{x \to \infty}[f(x)-mx]=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left[\frac{x^{2}+2}{x^{2}-2x}-x\right]=2}

 

La asíntota oblícua es {y=x+2}

 

 

2 {f(x)=\displaystyle\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}=\infty, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}=-\infty}

 

Concluimos que no existen asíntotas horizontales.

 

Asíntota vertical

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {1}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}=\infty}

 

La función tiene una asíntota vertical {x=1}

 

Asíntota oblícua

 

Calculamos mediante límites le pendiente y ordenada al origen de las asíntotas oblícuas

 

{m=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}}{x(x-1)^{2}}=1}

 

{b=\displaystyle\lim_{x \to \infty}[f(x)-mx]=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left[\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}-x\right]=2}

 

La asíntota oblícua es {y=x+2}

 

 

3 {f(x)=\displaystyle\frac{x^{4}+1}{x^{2}}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=\infty, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=-\infty}

 

Concluimos que no existen asíntotas horizontales.

 

Asíntota vertical

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {0}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=\infty}

 

La función tiene una asíntota vertical {x=0}

 

Asíntota oblícua

 

Calculamos mediante límites le pendiente y ordenada al origen de las asíntotas oblícuas

 

{m=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{4}+1}{x^{3}}=\infty}

 

La función no posee asíntotas oblícuas

 

 

4 {f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}}{2-x}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}}{2-x}=-\infty, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{2}}{2-x}=\infty}

 

Concluimos que no existen asíntotas horizontales.

 

Asíntota vertical

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {2}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^{2}}{2-x}=\infty}

 

La función tiene una asíntota vertical {x=2}

 

Asíntota oblícua

 

Calculamos mediante límites le pendiente y ordenada al origen de las asíntotas oblícuas

 

{m=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}}{2x-x^{2}}=-1}

 

{b=\displaystyle\lim_{x \to \infty}[f(x)-mx]=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left[\frac{x^{2}}{2-x}+x\right]=-2}

 

La función posee asíntota oblícua {y=-x-2}

 

 

5 {f(x)=\displaystyle\frac{x}{1+x^{2}}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{1+x^{2}}=0, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x}{1+x^{2}}=0}

 

La función tiene una asíntota horizontal en {y=0}

 

La función no posee asíntotas verticales ni oblícuas.

 

 

6 {f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}-3x+2}{1+x^{2}}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}-3x+2}{1+x^{2}}=1, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{2}-3x+2}{1+x^{2}}=1}

 

La función tiene una asíntota horizontal en {y=1}

 

La función no posee asíntotas verticales ni oblícuas.

 

 

7 {f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}=\infty, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}=-\infty}

 

Concluimos que no existen asíntotas horizontales.

 

Asíntota vertical

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm 1}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \pm 1}\frac{x^{2}}{2-x}=\infty}

 

La función tiene asíntotas verticales {x=\pm 1}

 

Asíntota oblícua

 

Calculamos mediante límites le pendiente y ordenada al origen de las asíntotas oblícuas

 

{m=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}}{x\sqrt{x^{2}-1}}=1}

 

{b=\displaystyle\lim_{x \to \infty}[f(x)-mx]=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left[\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}-x\right]=0}

 

La función posee asíntota oblícua {y=x}

 

 

8 {f(x)=e^{\frac{1}{x}}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}e^{\frac{1}{x}}=1, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}e^{\frac{1}{x}}=1}

 

La función tiene asíntota horizontal {y= 1}

 

Asíntota vertical

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {0}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}}=\infty}

 

La función tiene asíntota vertical {x=0}

 

La función no posee asíntotas oblícuas

 

 

9 {f(x)=(x-1)e^{-x}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}(x-1)e^{-x}=0, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}(x-1)e^{-x}=0}

 

La función tiene asíntota horizontal {y= 0}

 

La función no posee asíntotas verticales ni oblícuas.

 

 

10 {f(x)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}=0, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}=0}

 

La función tiene asíntota horizontal {y= 0}

 

La función no posee asíntotas verticales ni oblícuas.

 

 

11 {f(x)=\displaystyle\frac{ln \, x}{x}}

 

Asíntota horizontal

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {\pm \infty}

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{ln \, x}{x}=0, \ \ \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{ln \, x}{x}=0}

 

La función tiene asíntota horizontal {y= 0}

 

Asíntota vertical

 

Calculamos los límites cuando {x} tiende a {0^{+}}

 

{\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{ln \, x}{x}=\infty}

 

La función tiene asíntota vertical {x=0}

 

La función no posee asíntotas oblícuas

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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