Una función racional es aquella que viene dada por un cociente de polinomios, esto es,

 

f(x)=\cfrac{p(x)}{q(x)}

 

con p(x) y q(x) polinomios sin factores comunes entre si.

 

Resulta conveniente notar que toda función polinómica es una función racional, basta considerar q(x) \equiv 1; sin embargo una función racional no siempre es polinómica.

 

Ejemplo: las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

 

{f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}}

 

Ejemplo de funciones racionales representacion grafica

 

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones

 

{f(x)=\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}

 

con b, c \neq 0

 

Ejemplo de dos funciones racionales representacion grafica

 

Dominio de funciones racionales

 

A diferencia de las funciones polinómicas cuyo dominio son todos los números reales \mathbb{R}, las funciones racionales están definidas en todos los valores x donde el denominador q(x) \neq 0, es decir,

 

Df = \{ x \in \mathbb{R} : q(x) \neq 0 \}

 

Ejemplo: Para la función racional

 

f(x)=\displaystyle \frac{1}{x},

 

tenemos que q(x) = x por lo que su dominio es

 

Df = \{ x \in \mathbb{R} : x \neq 0 \},

 

que expresado en intervalos es

 

Df = (-\infty, 0) \cup (0, + \infty)

 

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Vamos

Asíntotas

 

Los valores x donde el denominador de la función racional es cero dan origen a las asíntotas verticales, esto es, las asíntotas verticales son las rectas x = x_0 las cuales cumplen

 

q(x_0) = 0

 

Para encontrar las asíntotas oblícuas y = mx + b utilizamos

 

m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cfrac{f (x)}{x}

 

b = \displaystyle \lim_{x \to \infty} [f (x) - mx]

 

Ejemplo: Para la función racional

 

f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}

 

Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero

 

x = 0

 

Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos

 

m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cfrac{\cfrac{k}{x}}{x} = 0

 

por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es

 

y = 0

 

Cortes con los ejes coordenados

 

Para encontrar el corte con el eje OX tenemos que igualar la función a cero y encontrar los valores x, esto es, f(x) = 0

 

Para encontrar el corte con el eje OY tenemos que evaluar la función en x = 0, esto es, f(0)

 

Ejemplo: Para la función racional

 

f(x) = \displaystyle \frac{1}{x}

 

no se tienen cortes con los ejes coordenados, ya que estos son asíntotas de la función

 

Comportamiento en el infinito

 

Para encontrar el comportamiento en el infinito basta con calcular los siguientes límites

 

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x)

 

Ejemplo: El comportamiento de la función

 

f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}

 

en el infinito es

 

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \cfrac{k}{x} = 0

 

por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función

 

Ejemplo de funciones racionales representacion grafica

 

Continuidad

 

Si el denominador q(x) no se anula para cualquier valor x, entonces la función es continua en todos sus puntos.

 

Los valores x donde q(x) se anula son los puntos de discontinuidad de la función racional, es decir, la función racional no es continua en las asíntotas verticales.

 

Ejemplo: La función racional

 

f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}

 

no es continua en x = 0

 

Singularidades

 

Estos puntos se obtienen derivando la función racional e igualando a cero. Los valores donde la derivada se anula son conocidos como puntos críticos. En estos puntos la función puede alcanzar su máximo o mínimo relativo.

 

No todas las funciones racionales poseen máximos ni mínimos en su dominio.

 

Ejemplo: La función

 

f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}

 

no tiene máximos ni mínimos en su dominio

 

Para esto calculamos la derivada

 

f'(x)=\displaystyle -\frac{1}{x^2}

 

la cual no se anula en el dominio de la función, por tanto la función no tiene máximos ni mínimos en su dominio.

 

Ejercicios de funciones racionales

 

Encontrar la gráfica, dominio, asíntotas, cortes con los ejes coordenados, comportamiento en el infinito, continuidad y singularidades de las funciones racionales

 

1 f(x) = -\cfrac{1}{x^2}

1 La gráfica de la función es

 

funcion racional 3

 

2 Dominio de la función

 

tenemos que q(x) = x^2 por lo que su dominio es

 

Df = \{ x \in \mathbb{R} : x \neq 0 \},

 

que expresado en intervalos es

 

Df = (-\infty, 0) \cup (0, + \infty)

 

3 Asíntotas

 

Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero. Así la asíntota vertical es

 

x = 0

 

Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos

 

m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cfrac{-\cfrac{1}{x^2}}{x} = 0

 

por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es

 

y = 0

 

4 Cortes con los ejes coordenados

 

no se tienen cortes con los ejes coordenados, ya que estos son asíntotas de la función

 

5 Comportamiento en el infinito

 

Calculamos

 

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \cfrac{1}{x^2} = 0

 

por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función

 

6 Continuidad

 

La función tiene asíntota vertical en x = 0

 

luego la función no es continua en x = 0

 

7 Singularidades

 

La función no tiene máximos ni mínimos en su dominio

 

Para esto calculamos la derivada

 

f'(x)=\displaystyle -\frac{1}{x^2}

 

la cual no se anula en el dominio de la función, por tanto la función no tiene máximos ni mínimos en su dominio.

 

2 f(x) = \cfrac{20}{x^2 + 4}

1 La gráfica de la función es

 

funcion racional 4

 

2 Dominio de la función

 

Tenemos que q(x) = x^2 + 4 la cual nunca se anula en los números reales por lo que su dominio es

 

Df = \mathbb{R},

 

que expresado en intervalos es

 

Df = (-\infty, + \infty)

 

3 Asíntotas

 

Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero. Como el numerador nunca es cero, tenemos que no existen asíntotas verticales

 

Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos

 

m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cfrac{\cfrac{20}{x^2 + 4}}{x} = 0

 

por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es

 

y = 0

 

4 Cortes con los ejes coordenados

 

No se tienen cortes con el eje coordenado OX, ya que este es asíntota de la función

 

El corte con el eje coordenado OY es

 

f(0) = 5

 

5 Comportamiento en el infinito

 

Calculamos

 

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \cfrac{20}{x^2 + 4} = 0

 

por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función

 

6 Continuidad

 

La función no tiene asíntota vertical por lo que es continua en todo el dominio \mathbb{R}

 

7 Singularidades

 

Calculamos la derivada

 

f'(x)=\displaystyle -\frac{40x}{(x^2 + 4)^2}

 

Igualando la derivada a cero, obtenemos el punto crítico x = 0

 

Calculamos la segunda derivada

 

f''(x)=\displaystyle \frac{40(3x^2 - 4)}{(x^2 + 4)^3}

 

Evaluamos el punto crítico en la segunda derivada

 

f''(0) < 0

 

Luego la función posee un máximo en x = 0

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗