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Una función racional es aquella que viene dada por un cociente de polinomios, esto es,
con 
y 
polinomios sin factores comunes entre si.
Resulta conveniente notar que toda función polinómica es una función racional, basta considerar 
; sin embargo una función racional no siempre es polinómica.
Ejemplo: las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones
con 
Dominio de funciones racionales
A diferencia de las funciones polinómicas cuyo dominio son todos los números reales 
, las funciones racionales están definidas en todos los valores 
donde el denominador 
, es decir,
Ejemplo: Para la función racional
,
tenemos que 
por lo que su dominio es
,
que expresado en intervalos es
Asíntotas
Los valores donde el denominador de la función racional es cero dan origen a las asíntotas verticales, esto es, las asíntotas verticales son las rectas 
las cuales cumplen
Para encontrar las asíntotas oblícuas 
utilizamos
Ejemplo: Para la función racional
Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero
Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos
por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es
Cortes con los ejes coordenados
Para encontrar el corte con el eje 
tenemos que igualar la función a cero y encontrar los valores , esto es, 
Para encontrar el corte con el eje 
tenemos que evaluar la función en , esto es, 
Ejemplo: Para la función racional
no se tienen cortes con los ejes coordenados, ya que estos son asíntotas de la función
Comportamiento en el infinito
Para encontrar el comportamiento en el infinito basta con calcular los siguientes límites
Ejemplo: El comportamiento de la función
en el infinito es
por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función
Continuidad
Si el denominador no se anula para cualquier valor , entonces la función es continua en todos sus puntos.
Los valores donde se anula son los puntos de discontinuidad de la función racional, es decir, la función racional no es continua en las asíntotas verticales.
Ejemplo: La función racional
no es continua en
Singularidades
Estos puntos se obtienen derivando la función racional e igualando a cero. Los valores donde la derivada se anula son conocidos como puntos críticos. En estos puntos la función puede alcanzar su máximo o mínimo relativo.
No todas las funciones racionales poseen máximos ni mínimos en su dominio.
Ejemplo: La función
no tiene máximos ni mínimos en su dominio
Para esto calculamos la derivada
la cual no se anula en el dominio de la función, por tanto la función no tiene máximos ni mínimos en su dominio.
Ejercicios de funciones racionales
Encontrar la gráfica, dominio, asíntotas, cortes con los ejes coordenados, comportamiento en el infinito, continuidad y singularidades de las funciones racionales
1 
1 La gráfica de la función es
2 Dominio de la función
tenemos que 
por lo que su dominio es
,
que expresado en intervalos es
3 Asíntotas
Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero. Así la asíntota vertical es
Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos
por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es
4 Cortes con los ejes coordenados
no se tienen cortes con los ejes coordenados, ya que estos son asíntotas de la función
5 Comportamiento en el infinito
Calculamos
por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función
6 Continuidad
La función tiene asíntota vertical en
luego la función no es continua en
7 Singularidades
La función no tiene máximos ni mínimos en su dominio
Para esto calculamos la derivada
la cual no se anula en el dominio de la función, por tanto la función no tiene máximos ni mínimos en su dominio.
2 
1 La gráfica de la función es
2 Dominio de la función
Tenemos que 
la cual nunca se anula en los números reales por lo que su dominio es
,
que expresado en intervalos es
3 Asíntotas
Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero. Como el numerador nunca es cero, tenemos que no existen asíntotas verticales
Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos
por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es
4 Cortes con los ejes coordenados
No se tienen cortes con el eje coordenado , ya que este es asíntota de la función
El corte con el eje coordenado es
5 Comportamiento en el infinito
Calculamos
por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función
6 Continuidad
La función no tiene asíntota vertical por lo que es continua en todo el dominio
7 Singularidades
Calculamos la derivada
Igualando la derivada a cero, obtenemos el punto crítico
Calculamos la segunda derivada
Evaluamos el punto crítico en la segunda derivada
Luego la función posee un máximo en
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Me ayudarian hacer la funcion lineal con grafico
Y=2×+1
La primera derivada se anula en x = 3. Por lo tanto 3 es otro punto crítico de la función del ejemplo.
Hola gracias por la observación, podrías hacernos el favor de mostrarnos la función que se deriva y se encuentran los puntos críticos.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.