Caso 1: Si a > 0

Para la función f(x)=a^{x} con a> 0 se tiene una función creciente con dominio D=(0,\infty ) y asintota horizontal en x=0:

 

Gráfica de una función logarítmica con base mayor a uno

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty }\log_{a}x=\infty

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\log_{a}x=-\infty

 

Caso 2: Si 0 < a < 1

Para la función f(x)=a^{x} con 0< a< 1 se tiene una función decreciente con dominio D=(0,\infty ) y asintota horizontal en x=0:

 

Gráfica de una función logarítmica con base menor a uno

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\log_{a}x=\infty

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty }\log_{a}x=-\infty

 

Ejemplo

 

Estudiar la función: f(x)=\log(x^{2}-9)

 

1 Calculamos el dominio de la función resolviendo la desigualdad:

 

x^{2}-9> 0

 

2 Para verificar las asintotas, calculamos los siguiente limites:

 

D=(-\infty ,-3)\cup (3,\infty )

\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\log(x^{2}-9)=\lim_{x \to -\infty }\log\left [ (-x)^{2}-9 \right ]=\log\left [\lim_{x \to -\infty }(x^{2}-9) \right ]

 

=\log\infty =\infty

 

\displaystyle\lim_{x\to -3^{-}}\log(x^{2}-9)=\log\left [ \lim_{x\to -3^{-}}(x^{2}-9) \right ]=\log 0^{+}=-\infty

 

\displaystyle \lim_{x \to 0}\log(x^{2}-9)=\log\left [ \lim_{x\to 0}(x^{2}-9) \right ]=\log(-9)\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \textup{No existe}

 

\displaystyle\lim_{x\to3^{+}}\log(x^{2}-9)=\log\left [ \lim_{x\to 3^{+}}(x^{2}-9) \right ]=\log 0^{+}=-\infty

 

\displaystyle \lim_{x\to \infty }\log(x^{2}-9)=\log\left [ \lim_{x\to \infty }(x^{2}-9) \right ]=\log \infty =\infty

 

Ejemplo de limites en una función logarítmica representación gráfica

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗