Si {\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)= \pm\infty} y {\displaystyle\lim_{x \to \infty}g(x)= \pm\infty}, entonces se tienen los siguientes resultados para el cociente de funciones:

 

1Si {f(x)} es un infinito de orden superior a {g(x)}, entonces

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \pm\infty}

 

2.Si {f(x)} es un infinito de orden inferior a {g(x)}, entonces

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= 0}

 

3.Si {f(x)} es un infinito de igual orden a {g(x)}, entonces el cociente es igual a una constante diferente de cero

 

{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= c \neq 0}

 

 

Comparación de funciones en infinito

 

1Dadas dos potencias de {x}, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

 

2Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

 

3Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de {x}.

 

4Las potencias de {x} son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

 

5Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

 

Superprof

Ejemplos de ejercicios por comparación de infinitos

 

Hallar los límites por comparación de infinitos:

 

1{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left( \frac{e^{x}}{x^{25}-25} \right)= \infty}

 

En este ejemplo tenemos que

 

{f(x)=e^{x}}

 

{g(x)=x^{25}-25}

 

El resultado se obtiene a partir de la propiedad de que cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia. Así {f(x)} es un infinito de orden superior a {g(x)}

 

2{\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left( \frac{\sqrt{x^{7}-7}}{x^{3}-3} \right)= \infty}

 

En este ejemplo tenemos que

 

{f(x)=\sqrt{x^{7}-7}}

 

{g(x)=x^{3}-3}

 

El resultado se obtiene a partir de la propiedad de que la función de mayor exponente es un infinito de orden superior. Así {f(x)} es un infinito de orden superior a {g(x)}

 

3{\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left[\frac{log\left( x^{34}-56\right)}{2x^{2}} \right]= 0}

 

En este ejemplo tenemos que

 

{f(x)=log\left( x^{34}-56\right)}

 

{g(x)=2x^{2}}

 

El resultado se obtiene a partir de la propiedad de que las potencias de {x} son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas. Así {f(x)} es un infinito de orden inferior a {g(x)}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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