Las ramas parabólicas así como las asíntotas de una función f(x), surgen cuando queremos estudiar el comportamiento de la misma en el infinito. Si al crecer indefinidamente la x (por la izquierda o por la derecha), crece indefinidamente la función (por arriba o por abajo), pero sin acercarse a ninguna recta en particular, podemos decir que la función f(x) tiene una rama parabólica. Alternativamente, podemos decir que la función f(x) tiene una rama parabólica horizontal, vertical u oblicua si la gráfica de f(x) cuando x\rightarrow\infty o x\rightarrow-\infty, se comporta como si formara parte de una parábola de eje horizontal, vertical u oblicuo respectivamente. Es importante destacar que las ramas parabólicas no son asíntotas de ningún tipo.

Las ramas parabólicas se caracterizan por y se estudian sólo si:

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty,\quad \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\infty.$$

Rama parabólica en la dirección del eje OY

f(x) tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:

Cuando x\rightarrow\infty, se cumple

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\pm\infty, \lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\pm\infty.$$

Cuando x\rightarrow-\infty, se cumple

    $$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\pm\infty, \lim_{x\rightarrow-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\pm\infty.$$

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje vertical.

Ejemplo:

Estudiar las ramas parabólicas de la función:

    $$f(x)=\cfrac{x^{3}+1}{x}.$$

Ahora calcularemos el limite de la función cuando x tiende al infinito,

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x^{3}+1}{x}=$$

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x^{3}}{x}+\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{1}{x}=$$

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^{2}+\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{1}{x}=\infty+0=\infty.$$

Similarmente, calculamos el limite \lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\cfrac{x^{3}+1}{x}}{x}. Lo que nos da como resultado que

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x^{3}+1}{x^{2}}}=\infty.$$

Podemos concluir que f(x)  tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY. Gráficamente se ve de la siguiente forma,

Parabola vertical

 

f(x) tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX cuando:

Cuando x\rightarrow\infty, se cumple

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\pm\infty, \lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{f(x)}{x}=0.$$

Cuando x\rightarrow-\infty, se cumple

    $$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\pm\infty, \lim_{x\rightarrow-\infty}\cfrac{f(x)}{x}=0.$$

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje horizontal.

Ejemplo

Estudiar las ramas parabólicas de la función:

    $$f(x)=\sqrt{x}.$$

Ahora calcularemos el limite de la función cuando x tiende al infinito,

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}=\infty.$$

También, calculamos el limite \lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{f(x)} {x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\sqrt{x}}{x}. Lo que nos da como resultado que

    $$\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{1}{\sqrt{x}}=0.$$

Podemos concluir que f(x)  tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX. Gráficamente se ve de la siguiente forma,

Parabola Horizontal

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗