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Continuidad de funciones
Continuidad en x=0
Demuestra la continuidad donde se indica
Calcular valores para garantizar la continuidad

Continuidad de funciones

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 $\displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}$

2 $\displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}$

3 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.$

4 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.$

5 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.$

6 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 $\displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}$

La función es continua en todos los puntos de su dominio menos en los valores
que anulan el denominador.

$\displaystyle x^{4}-16=0$

$\displaystyle x=\pm \sqrt[4]{16} = \pm 2$

$\displaystyle D=R - \begin{Bmatrix} -2,2 \end{Bmatrix}$

La función tiene dos puntos de discontinuidad en $\displaystyle x=-2$ y $\displaystyle x = 2$ .

2 $\displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}$

La función es continua en toda ℛ menos en los valores en que se anula el
denominador, si igualamos este a cero y resolvemos la ecuación obtendremos
los puntos de discontinuidad.

$\displaystyle x^{3}-x^{2}-11x+3=0$

$\displaystyle x=-3$ ; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también:

$\displaystyle x=2-\sqrt{3}$ y $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$

La función tiene tres puntos de discontinuidad en

$\displaystyle x=-3$ , $\displaystyle x=2-\sqrt{3}$ y $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$

3 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(2)=3$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{-}}} (x+1)=3$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{+}}} (2x-1)=3$

La función es continua en toda ℛ

4 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} (x^{2}-1)=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} (2x-3)=-3$

Salto = $\displaystyle \left | -1-(-3) \right |=2$

La función es discontinua inevitable de salto $\displaystyle 2$ en $\displaystyle x=0$ .

5 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(1)=\sqrt{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{-}}} \left ( \frac{1}{x} \right )=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{+}}} \sqrt{x+1}=\sqrt{2}$

En $\displaystyle x=1$ hay una discontinuidad de salto finito.

6 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \left ( \frac{e^{x}}{e^{x}+1} \right )=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{2}+1=1$

Salto = $\displaystyle \left | \frac{1}{2} -1 \right |= \frac{1}{2}$

La función es discontinua inevitable de salto $\displaystyle \frac{1}{2}$ en $\displaystyle x=0$ .

Continuidad en x=0

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.$

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{\frac{1}{x}}=0^{\frac{1}{0^{+}}}=0^{\infty }=0$

$\displaystyle \nexists \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} x^{\frac{1}{x}}$

En $\displaystyle x=0$ hay una discontinuidad esencial.

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 $\displaystyle f(x)=2^{-x}$

2 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 $\displaystyle f(x)=2^{-x}$

$\displaystyle f(x)=2^{-0}=\frac{1}{2^{0}}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} 2^{-x}=2^{-0^{-}}=2^{0}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} 2^{-x}=2^{-0^{+}}=\frac{1}{2^{0}}=1$

La función es continua en $\displaystyle x=0$

2 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=-0=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} -x=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} logx=-\infty$

En $\displaystyle x=0$ hay una discontinuidad de salto infinito.

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

La función $\displaystyle sen\frac{1}{x}$ está acotada $\displaystyle\left | sen\frac{1}{x}\right |\leq 1, x \neq 0$ . por tanto se verifica:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0}} \left ( x\cdot sen\frac{1}{x} \right )=0$

El límite es $\displaystyle 0$ , ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.

La función es continua en toda ℛ.

Demuestra la continuidad donde se indica

Dada la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5?

En caso afirmativo dar su expresión.

Dada la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

1 Demostrar que $\displaystyle f(x)$ no es continua en $\displaystyle x=5$ .

$\displaystyle f(5)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{x^{2}-25}{x-5}=\frac{0}{0}$

Resolvemos la indeterminación factorizando el numerador y simplificando:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)}=\lim_{x\rightarrow {5}}(x+5)=10$

$\displaystyle f(x)$ no es continua en $\displaystyle x=5$ porque:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)\neq f(5)$

2 ¿Existe una función continua que coincida con $\displaystyle f(x)$ para todos los valores $\displaystyle x\neq 5$ ?

En caso afirmativo dar su expresión.

Si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)=f(5)=10$ la función sería continua, luego la función redefinida es:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x^{2}+25} & si & x \neq 5\\ 10 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad de la función:

$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}$

Estudiar la continuidad de la función:

$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}$

La función $\displaystyle f(x)$ es continua para $x\neq 0$ . Vamos a estudiar la continuidad en $x=0$ .

$\displaystyle \nexists f(0)$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\frac{x+1}{-x}\lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\left ( -1-\frac{1}{x} \right )= -1-\frac{1}{0^{-}}=\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\frac{x+1}{x}=\lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )= 1+\frac{1}{0^{+}}=\infty$

La función no es continua en $\displaystyle x=0$ , porque no está definida en $\displaystyle x=0$ , ya que anula el denominador.

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

$\displaystyle sgn x =\left\{\begin{matrix} -1 &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ 1& si&x> 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle x\cdot sgn x =\left\{\begin{matrix} -x &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ x& si&x> 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0$

La función es continua en toda ℛ.

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

$\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.$

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

$\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.$

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos $\displaystyle x=1$ y $x=2$ , en los que cambia la forma de la función.

$\displaystyle f(1)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}0=0$

Salto = $\displaystyle \left | 1-0 \right |=1$

En $\displaystyle x=1$ tiene una discontinuidad de salto $1$ .

$\displaystyle f(2)=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}0=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}x-1=1$

Salto = $\displaystyle \left | 0-1 \right |=1$

En $\displaystyle x=2$ tiene una discontinuidad de salto $\displaystyle x=2$ .

Calcular valores para garantizar la continuidad

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.$

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(1)=2$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\left ( x+1 \right )=2$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\left ( 3-ax^{2} \right )=3-a$

$\displaystyle 3-a=2$

$\displaystyle a=1$

La siguiente función esta definida por:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.$

es continua en $\displaystyle \left [ 0, \infty )$ .

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

La siguiente función esta definida por:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.$

es continua en $\displaystyle \left [ 0, \infty )$ .

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{-}}\left \sqrt{ax}=\sqrt{8a}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{+}}\frac{x^{2}-32}{x-4}=8$

$\displaystyle \sqrt{8a}=8$

$\displaystyle a=8$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Funciones: propiedades y ejemplos

Funciones reales

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Continuidad de funciones

Grafica de funciones y definiciones

Resumen de funciones I

Resumen de las funciones II

Teoría

Limites infinitos

Representación de puntos

Caracteristicas: graficas

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones constantes

Funciones lineales

Funciones radicales

Función valor absoluto

Logaritmos y funciones logaritmicas

Limite de una funcion

Limites laterales

¿Cuales son las propiedades de los límites?

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Las siete indeterminaciones

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Indeterminacion division infinito entre infinito en funciones

Resolver la indeterminacion infinito menos infinito

Indeterminacion cero entre cero

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Funcion cuadratica

Optimizacion de funciones

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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Daniel hoyos

Abril 2022

3. (1.0) Determine la continuidad de la siguiente función (Si es discontinua en algún punto diga si es o no removible)
En caso
de ser removible redefinirla.
𝑔(𝜃) =
sin
𝜃4/teta

Andres

Abril 2022

Un caso de aplicación dentro sobre la continuidad

daniela

Abril 2022

f(x)={█(2x-1 ;x>2@x/2+1 ;x≤2)┤ lim┬(x→+∞)⁡f(x)
lim┬(x→-∞)⁡f(x)
lim┬(x→〖-2〗^+ )⁡f(x)
lim┬(x→2^+ )⁡f(x)

victor manuel perez gonzalez

Marzo 2022

es muy esencial aprende3r mas matematicas

Karina

Marzo 2022

Hola buen día… alguien me puede ayudar con este problema… por favor….
Determinar el valor de 𝑐 para el que la función es continua en toda la recta de los
números reales.
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 3, 𝑥 ≤ 2
𝑐𝑥 + 6, 𝑥 > 2

Daniel

Enero 2022

Por favor alguien que me ayude con este ejercicio.
Analizar la continuidad y discontinuidad lateral en los R de la función
f(x) ={raíz cúbica de x+1 si x>=-1 y -1/e^(x+1)^2 si x <-1
Se los agradecería

Yiseth

Noviembre 2021

f(x) ={ x^2 , x ≥ 1}
{ x, x < 1}
estudie (justificando) la continuidad de f en R. (Es decir, determine d´onde es
continua, d´onde es discontinua).

angie

Noviembre 2021

PORFAVOR AYUDA CON ESTE EJERCICIO …….Se sabe que en el taller de “Confecciones Vega” se produce cierto modelo de mamelucos a un costo promedio unitario modelado por C(x)=(25.80x^2+0.50x+0.20)/x^2 ; donde “x” representa el número de mamelucos producidos. A medida que se fabrique cada vez más mamelucos, ¿a cuánto tiende el costo por unidad?

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