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Continuidad de funciones
Continuidad en x=0
Demuestra la continuidad donde se indica
Calcular valores para garantizar la continuidad

Continuidad de funciones

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 $\displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}$

2 $\displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}$

3 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.$

4 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.$

5 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.$

6 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 $\displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}$

La función es continua en todos los puntos de su dominio menos en los valores
que anulan el denominador.

$\displaystyle x^{4}-16=0$

$\displaystyle x=\pm \sqrt[4]{16} = \pm 2$

$\displaystyle D=R - \begin{Bmatrix} -2,2 \end{Bmatrix}$

La función tiene dos puntos de discontinuidad en $\displaystyle x=-2$ y $\displaystyle x = 2$ .

funcion con dos puntos de discontinuidad en x

2 $\displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}$

La función es continua en toda ℛ menos en los valores en que se anula el
denominador, si igualamos este a cero y resolvemos la ecuación obtendremos
los puntos de discontinuidad.

$\displaystyle x^{3}-x^{2}-11x+3=0$

tabla de puntos de discontinuidad de una funcion

$\displaystyle x=-3$ ; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también:

$\displaystyle x=2-\sqrt{3}$ y $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$

La función tiene tres puntos de discontinuidad en

$\displaystyle x=-3$ , $\displaystyle x=2-\sqrt{3}$ y $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$

grafica de funcion con 3 puntos de discontinuidad

3 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(2)=3$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{-}}} (x+1)=3$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{+}}} (2x-1)=3$

La función es continua en toda ℛ

grafica funcion continua en toda R

4 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} (x^{2}-1)=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} (2x-3)=-3$

Salto = $\displaystyle \left | -1-(-3) \right |=2$

La función es discontinua inevitable de salto $\displaystyle 2$ en $\displaystyle x=0$ .

funcion discontinua de salto 2

5 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(1)=\sqrt{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{-}}} \left ( \frac{1}{x} \right )=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{+}}} \sqrt{x+1}=\sqrt{2}$

En $\displaystyle x=1$ hay una discontinuidad de salto finito.

funcion discontinuidad salto finito

6 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \left ( \frac{e^{x}}{e^{x}+1} \right )=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{2}+1=1$

Salto = $\displaystyle \left | \frac{1}{2} -1 \right |= \frac{1}{2}$

La función es discontinua inevitable de salto $\displaystyle \frac{1}{2}$ en $\displaystyle x=0$ .

funcion discontinua inevitable de salto

Continuidad en x=0

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.$

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{\frac{1}{x}}=0^{\frac{1}{0^{+}}}=0^{\infty }=0$

$\displaystyle \nexists \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} x^{\frac{1}{x}}$

En $\displaystyle x=0$ hay una discontinuidad esencial.

Funcion con discontinuidad esencial en x=0

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 $\displaystyle f(x)=2^{-x}$

2 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 $\displaystyle f(x)=2^{-x}$

$\displaystyle f(x)=2^{-0}=\frac{1}{2^{0}}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} 2^{-x}=2^{-0^{-}}=2^{0}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} 2^{-x}=2^{-0^{+}}=\frac{1}{2^{0}}=1$

La función es continua en $\displaystyle x=0$

funcion continua en x=0

2 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=-0=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} -x=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} logx=-\infty$

En $\displaystyle x=0$ hay una discontinuidad de salto infinito.

grafica funcion de discontinuidad salto infinito

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

La función $\displaystyle sen\frac{1}{x}$ está acotada $\displaystyle\left | sen\frac{1}{x}\right |\leq 1, x \neq 0$ . por tanto se verifica:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0}} \left ( x\cdot sen\frac{1}{x} \right )=0$

El límite es $\displaystyle 0$ , ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.

La función es continua en toda ℛ.

grafica funcion continua en R

Demuestra la continuidad donde se indica

Dada la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5?

En caso afirmativo dar su expresión.

Dada la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

1 Demostrar que $\displaystyle f(x)$ no es continua en $\displaystyle x=5$ .

$\displaystyle f(5)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{x^{2}-25}{x-5}=\frac{0}{0}$

Resolvemos la indeterminación factorizando el numerador y simplificando:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)}=\lim_{x\rightarrow {5}}(x+5)=10$

$\displaystyle f(x)$ no es continua en $\displaystyle x=5$ porque:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)\neq f(5)$

2 ¿Existe una función continua que coincida con $\displaystyle f(x)$ para todos los valores $\displaystyle x\neq 5$ ?

En caso afirmativo dar su expresión.

Si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)=f(5)=10$ la función sería continua, luego la función redefinida es:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x^{2}+25} & si & x \neq 5\\ 10 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad de la función:

$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}$

Estudiar la continuidad de la función:

$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}$

La función $\displaystyle f(x)$ es continua para $x\neq 0$ . Vamos a estudiar la continuidad en $x=0$ .

$\displaystyle \nexists f(0)$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\frac{x+1}{-x}\lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\left ( -1-\frac{1}{x} \right )= -1-\frac{1}{0^{-}}=\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\frac{x+1}{x}=\lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )= 1+\frac{1}{0^{+}}=\infty$

La función no es continua en $\displaystyle x=0$ , porque no está definida en $\displaystyle x=0$ , ya que anula el denominador.

grafica de funcion no definida en x=0

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

$\displaystyle sgn x =\left\{\begin{matrix} -1 &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ 1& si&x> 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle x\cdot sgn x =\left\{\begin{matrix} -x &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ x& si&x> 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0$

La función es continua en toda ℛ.

ejemplo grafica funcion continua

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

$\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.$

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

$\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.$

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos $\displaystyle x=1$ y $x=2$ , en los que cambia la forma de la función.

$\displaystyle f(1)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}0=0$

Salto = $\displaystyle \left | 1-0 \right |=1$

En $\displaystyle x=1$ tiene una discontinuidad de salto $1$ .

$\displaystyle f(2)=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}0=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}x-1=1$

Salto = $\displaystyle \left | 0-1 \right |=1$

En $\displaystyle x=2$ tiene una discontinuidad de salto $\displaystyle x=2$ .

funcion con discontinuidad de salto 2 en x=2 4

Calcular valores para garantizar la continuidad

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.$

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(1)=2$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\left ( x+1 \right )=2$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\left ( 3-ax^{2} \right )=3-a$

$\displaystyle 3-a=2$

$\displaystyle a=1$

La siguiente función esta definida por:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.$

es continua en $\displaystyle \left [ 0, \infty )$ .

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

La siguiente función esta definida por:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.$

es continua en $\displaystyle \left [ 0, \infty )$ .

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{-}}\left \sqrt{ax}=\sqrt{8a}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{+}}\frac{x^{2}-32}{x-4}=8$

$\displaystyle \sqrt{8a}=8$

$\displaystyle a=8$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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