Continuidad de funciones

 

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

 

1   \displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}

 

2 \displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}

 

3  \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.

 

4 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.

 

5 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.

 

6  \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.

 

 

 

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

 

1  \displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}

 

La función es continua en todos los puntos de su dominio menos en los valores
que anulan el denominador.

 

\displaystyle x^{4}-16=0

 

\displaystyle x=\pm \sqrt[4]{16} = \pm 2

 

 \displaystyle D=R - \begin{Bmatrix} -2,2 \end{Bmatrix}

 

La función tiene dos puntos de discontinuidad en \displaystyle x=-2 y \displaystyle x = 2.

 

 

funcion con dos puntos de discontinuidad en x

 

 

 

2 \displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}

 

La función es continua en toda menos en los valores en que se anula el
denominador, si igualamos este a cero y resolvemos la ecuación obtendremos
los puntos de discontinuidad.

 

\displaystyle x^{3}-x^{2}-11x+3=0

 

 

tabla de puntos de discontinuidad de una funcion

 

\displaystyle x=-3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también:

\displaystyle x=2-\sqrt{3} y \displaystyle x=2+\sqrt{3}

 

 

La función tiene tres puntos de discontinuidad en

\displaystyle x=-3, \displaystyle x=2-\sqrt{3} y \displaystyle x=2+\sqrt{3}

 

 

grafica de funcion con 3 puntos de discontinuidad

 

 

 

3 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(2)=3

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{-}}} (x+1)=3

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{+}}} (2x-1)=3

 

La función es continua en toda

 

grafica funcion continua en toda R

 

 

 

4 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(0)=-1

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} (x^{2}-1)=-1

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} (2x-3)=-3

 

Salto = \displaystyle \left | -1-(-3) \right |=2

 

La función es discontinua inevitable de salto \displaystyle 2 en \displaystyle x=0 .

 

funcion discontinua de salto 2

 

 

 

5 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(1)=\sqrt{2}

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{-}}} \left ( \frac{1}{x} \right )=1

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{+}}} \sqrt{x+1}=\sqrt{2}

 

En \displaystyle x=1 hay una discontinuidad de salto finito.

 

funcion discontinuidad salto finito

 

 

 

6 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \left ( \frac{e^{x}}{e^{x}+1} \right )=\frac{1}{2}

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{2}+1=1

 

Salto = \displaystyle \left | \frac{1}{2} -1 \right |= \frac{1}{2}

 

La función es discontinua inevitable de salto \displaystyle \frac{1}{2} en \displaystyle x=0.

 

funcion discontinua inevitable de salto

 

Continuidad en x=0

 

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.

 

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(0)=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{\frac{1}{x}}=0^{\frac{1}{0^{+}}}=0^{\infty }=0

 

\displaystyle \nexists \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} x^{\frac{1}{x}}


En \displaystyle x=0 hay una discontinuidad esencial.

 

Funcion con discontinuidad esencial en x=0

 

 

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

 

 

\displaystyle f(x)=2^{-x}

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.

 

 

 

 

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

 

1 \displaystyle f(x)=2^{-x}

 

\displaystyle f(x)=2^{-0}=\frac{1}{2^{0}}=1

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} 2^{-x}=2^{-0^{-}}=2^{0}=1

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} 2^{-x}=2^{-0^{+}}=\frac{1}{2^{0}}=1

 

La función es continua en \displaystyle x=0

 

funcion continua en x=0

 

 

 

2 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(0)=-0=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} -x=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} logx=-\infty

 

En \displaystyle x=0 hay una discontinuidad de salto infinito.

 

grafica funcion de discontinuidad salto infinito

 

 

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.

 

 

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(0)=0

 

La función   \displaystyle sen\frac{1}{x} está acotada \displaystyle\left | sen\frac{1}{x}\right |\leq 1, x \neq 0 . por tanto se verifica:

 

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0}} \left ( x\cdot sen\frac{1}{x} \right )=0

 

El límite es \displaystyle 0, ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.

 

La función es continua en toda .

 

 

grafica funcion continua en R

 

Demuestra la continuidad donde se indica

 

Dada la función:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.

 

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

 

2 ¿Existe una función continua que coincida  con f(x) para todos los valores x ≠ 5?

 

En caso afirmativo dar su expresión.

 

 

 

Dada la función:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.

 

1 Demostrar que \displaystyle f(x) no es continua en \displaystyle x=5.

 

\displaystyle f(5)=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{x^{2}-25}{x-5}=\frac{0}{0}

 

Resolvemos la indeterminación factorizando el numerador y simplificando:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)}=\lim_{x\rightarrow {5}}(x+5)=10

 

\displaystyle f(x) no es continua en \displaystyle x=5 porque:

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)\neq f(5)

 

 

2 ¿Existe una función continua que coincida con \displaystyle f(x) para todos los valores \displaystyle x\neq 5?

 

En caso afirmativo dar su expresión.

 

Si   \displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)=f(5)=10 la función sería continua, luego la función redefinida es:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x^{2}+25} & si & x \neq 5\\ 10 & si & x = 5 \end{matrix}\right.

 

 

Estudiar la continuidad de la función:

 

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}

 

 

Estudiar la continuidad de la función:

 

\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}

 

La función \displaystyle f(x) es continua para x\neq 0. Vamos a estudiar la continuidad en x=0.

 

\displaystyle \nexists f(0)

 

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\frac{x+1}{-x}\lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\left ( -1-\frac{1}{x} \right )= -1-\frac{1}{0^{-}}=\infty

 

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\frac{x+1}{x}=\lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )= 1+\frac{1}{0^{+}}=\infty

 

La función no es continua en \displaystyle x=0, porque no está definida en \displaystyle x=0, ya que anula el denominador.

 

grafica de funcion no definida en x=0

 

 

 

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

 

 

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

 

\displaystyle sgn x =\left\{\begin{matrix} -1 &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ 1& si&x> 0 \end{matrix}\right.

 

 

\displaystyle x\cdot sgn x =\left\{\begin{matrix} -x &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ x& si&x> 0 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(0)=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0

 

La función es continua en toda .

 

 

ejemplo grafica funcion continua

 

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

 

\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.

 

 

 

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

 

\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.

 

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos \displaystyle x=1 y x=2, en los que cambia la forma de la función.

 

\displaystyle f(1)=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}=1

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}0=0

 

Salto =   \displaystyle \left | 1-0 \right |=1

 

En \displaystyle x=1 tiene una discontinuidad de salto 1.

 

\displaystyle f(2)=1

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}0=0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}x-1=1

 

Salto =  \displaystyle \left | 0-1 \right |=1

 

En \displaystyle x=2 tiene una discontinuidad de salto \displaystyle x=2.

 

 

funcion con discontinuidad de salto 2 en x=24

 

 

Calcular valores para garantizar la continuidad

 

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.

 

 

 

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle f(1)=2

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\left ( x+1 \right )=2

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\left ( 3-ax^{2} \right )=3-a

 

\displaystyle 3-a=2

 

\displaystyle a=1

 

La siguiente función esta definida por:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.

 

es continua en \displaystyle \left [ 0, \infty ).

 

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

 

 

 

La siguiente función esta definida por:

 

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.

 

es continua en \displaystyle \left [ 0, \infty ).

 

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{-}}\left \sqrt{ax}=\sqrt{8a}

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{+}}\frac{x^{2}-32}{x-4}=8

 

\displaystyle \sqrt{8a}=8

 

\displaystyle a=8

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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