Aprende Matemáticas con los mejores

Marta

13 junio 2018

Temas

Continuidad de funciones
Continuidad en x=0
Demuestra la continuidad donde se indica
Calcular valores para garantizar la continuidad

Continuidad de funciones

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 $\displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}$

2 $\displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}$

3 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.$

4 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.$

5 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.$

6 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1 $\displaystyle f(x)= \frac{5}{x^{4}-16}$

La función es continua en todos los puntos de su dominio menos en los valores
que anulan el denominador.

$\displaystyle x^{4}-16=0$

$\displaystyle x=\pm \sqrt[4]{16} = \pm 2$

$\displaystyle D=R - \begin{Bmatrix} -2,2 \end{Bmatrix}$

La función tiene dos puntos de discontinuidad en $\displaystyle x=-2$ y $\displaystyle x = 2$ .

2 $\displaystyle f(x)= \frac{x-7}{x^{3}-x^{2}-11x+3}$

La función es continua en toda ℛ menos en los valores en que se anula el
denominador, si igualamos este a cero y resolvemos la ecuación obtendremos
los puntos de discontinuidad.

$\displaystyle x^{3}-x^{2}-11x+3=0$

$\displaystyle x=-3$ ; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también:

$\displaystyle x=2-\sqrt{3}$ y $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$

La función tiene tres puntos de discontinuidad en

$\displaystyle x=-3$ , $\displaystyle x=2-\sqrt{3}$ y $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$

3 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 & si & x< 2\\ 2x-1& si & x\geq 2 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(2)=3$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{-}}} (x+1)=3$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {2^{+}}} (2x-1)=3$

La función es continua en toda ℛ

4 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1 & si & x \leq 0\\ 2x-3& si & x > 2 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} (x^{2}-1)=-1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} (2x-3)=-3$

Salto = $\displaystyle \left | -1-(-3) \right |=2$

La función es discontinua inevitable de salto $\displaystyle 2$ en $\displaystyle x=0$ .

5 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 1\\ \sqrt{x+1}& si & x \geq 1 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(1)=\sqrt{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{-}}} \left ( \frac{1}{x} \right )=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {1^{+}}} \sqrt{x+1}=\sqrt{2}$

En $\displaystyle x=1$ hay una discontinuidad de salto finito.

6 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac {e^{x}}{e^{x} +1}\ & si & x \leq 0\\ \ x^{2}+1 & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \left ( \frac{e^{x}}{e^{x}+1} \right )=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{2}+1=1$

Salto = $\displaystyle \left | \frac{1}{2} -1 \right |= \frac{1}{2}$

La función es discontinua inevitable de salto $\displaystyle \frac{1}{2}$ en $\displaystyle x=0$ .

Continuidad en x=0

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.$

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{\frac{1}{x}} & si & x > 0\\ 0& si & x = 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} x^{\frac{1}{x}}=0^{\frac{1}{0^{+}}}=0^{\infty }=0$

$\displaystyle \nexists \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} x^{\frac{1}{x}}$

En $\displaystyle x=0$ hay una discontinuidad esencial.

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 $\displaystyle f(x)=2^{-x}$

2 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1 $\displaystyle f(x)=2^{-x}$

$\displaystyle f(x)=2^{-0}=\frac{1}{2^{0}}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} 2^{-x}=2^{-0^{-}}=2^{0}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} 2^{-x}=2^{-0^{+}}=\frac{1}{2^{0}}=1$

La función es continua en $\displaystyle x=0$

2 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ log x & si & x > 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=-0=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} -x=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} logx=-\infty$

En $\displaystyle x=0$ hay una discontinuidad de salto infinito.

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x \cdot sen\frac{1}{x} & si & x \neq 0\\ 0 & si & x = 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

La función $\displaystyle sen\frac{1}{x}$ está acotada $\displaystyle\left | sen\frac{1}{x}\right |\leq 1, x \neq 0$ . por tanto se verifica:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0}} \left ( x\cdot sen\frac{1}{x} \right )=0$

El límite es $\displaystyle 0$ , ya que cualquier número multiplicado por cero da cero.

La función es continua en toda ℛ.

Demuestra la continuidad donde se indica

Dada la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5?

En caso afirmativo dar su expresión.

Dada la función:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5} & si & x \neq 5\\ 0 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

1 Demostrar que $\displaystyle f(x)$ no es continua en $\displaystyle x=5$ .

$\displaystyle f(5)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{x^{2}-25}{x-5}=\frac{0}{0}$

Resolvemos la indeterminación factorizando el numerador y simplificando:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} \frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)}=\lim_{x\rightarrow {5}}(x+5)=10$

$\displaystyle f(x)$ no es continua en $\displaystyle x=5$ porque:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)\neq f(5)$

2 ¿Existe una función continua que coincida con $\displaystyle f(x)$ para todos los valores $\displaystyle x\neq 5$ ?

En caso afirmativo dar su expresión.

Si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow {5}} f(x)=f(5)=10$ la función sería continua, luego la función redefinida es:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x^{2}+25} & si & x \neq 5\\ 10 & si & x = 5 \end{matrix}\right.$

Estudiar la continuidad de la función:

$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}$

Estudiar la continuidad de la función:

$\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{\left | x \right |}$

La función $\displaystyle f(x)$ es continua para $x\neq 0$ . Vamos a estudiar la continuidad en $x=0$ .

$\displaystyle \nexists f(0)$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{-}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\frac{x+1}{-x}\lim_{x\rightarrow {0^{-}}}\left ( -1-\frac{1}{x} \right )= -1-\frac{1}{0^{-}}=\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow {0^{+}}} \frac{x+1}{\left | x \right |} = \lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\frac{x+1}{x}=\lim_{x\rightarrow {0^{+}}}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )= 1+\frac{1}{0^{+}}=\infty$

La función no es continua en $\displaystyle x=0$ , porque no está definida en $\displaystyle x=0$ , ya que anula el denominador.

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

$\displaystyle sgn x =\left\{\begin{matrix} -1 &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ 1& si&x> 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle x\cdot sgn x =\left\{\begin{matrix} -x &si &x< 0 \\ 0& si& x=0\\ x& si&x> 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(0)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0$

La función es continua en toda ℛ.

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

$\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.$

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

$\displaystyle f (x) =\left\{\begin{matrix} x^{2} &si &0< x< 1 \\ 0& si& 1\leq x< 2\\ x-1& si&2\leq x< 3 \end{matrix}\right.$

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos $\displaystyle x=1$ y $x=2$ , en los que cambia la forma de la función.

$\displaystyle f(1)=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}0=0$

Salto = $\displaystyle \left | 1-0 \right |=1$

En $\displaystyle x=1$ tiene una discontinuidad de salto $1$ .

$\displaystyle f(2)=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}0=0$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}x-1=1$

Salto = $\displaystyle \left | 0-1 \right |=1$

En $\displaystyle x=2$ tiene una discontinuidad de salto $\displaystyle x=2$ .

Calcular valores para garantizar la continuidad

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.$

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &si &x\leq 1 \\ 3-ax^{2}& si&x> 1 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle f(1)=2$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\left ( x+1 \right )=2$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\left ( 3-ax^{2} \right )=3-a$

$\displaystyle 3-a=2$

$\displaystyle a=1$

La siguiente función esta definida por:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.$

es continua en $\displaystyle \left [ 0, \infty )$ .

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

La siguiente función esta definida por:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax}&si &0\leq x\leq 8 \\ \frac{x^{2}-32}{x-4}& si&x> 8 \end{matrix}\right.$

es continua en $\displaystyle \left [ 0, \infty )$ .

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{-}}\left \sqrt{ax}=\sqrt{8a}$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 8^{+}}\frac{x^{2}-32}{x-4}=8$

$\displaystyle \sqrt{8a}=8$

$\displaystyle a=8$

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vez

Aprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?

Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar

3,67/5 - 36 vote(s)

Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

Cancelar la respuesta

nicolle leylani

Septiembre

Alguien que me ayude con este problema:

En una ciudad la tarifa eléctrica es de S/ 0.3 por cada kwh hasta los primeros 100 kwh consumidos, luego por cada kwh por encima de los 100 kwh, la tarifa es de S/ 0.4. Se pide:
a. Si en una casa se consumen x kwh al mes, defina la función pago por consumo de energía eléctrica p(x).
b. Determine si la función es continua para x = 100 kwh.

Luis Ernesto Sanchez Perez

Octubre

Buen día.

Te ayudo. En este caso tenemos una función por partes, notemos que esta función está definida como partes la cual está dada por

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{0.3} \qquad & \qquad 0 < x < 100\\ \frac{100}{0.3} + \frac{x - 100}{0.4} \qquad & \qquad 0 < x \leq 100 \end{cases}$

para resolver ver puedes graficar y ver claramente como sí es continua o analizar con límites, el único punto que debe analizarse rigurosamente es para x = 100 (y sí es continua).

Hugo

Septiembre

1-Aplicando las propiedades de los limites, resuelva:

2-Evalúe la continuidad para las siguientes funciones:

CARLOS ORLANDO PEÑA LEON

Octubre

Que pena alguien me puede colaborar con este ejercicio no lo logro resolver.
Luego de 10 años de La creación de la empresa CH Ingeniería, sus inversionistas deciden cambiar la forma de llevar su contabilidad. La rentabilidad de la empresa, en millones de pesos, se calculan con la siguiente función:

B(t) = 3t+10 /t 010

Donde t es el número de años transcurridos.
¿Cuál debe ser el valor de a para que el cambio en los beneficios resulte continuo?

Hugo Dominguez

Noviembre

Resolver el ejercicio de continuidad de la función: f(x)=(1)/(x-2) alguien que porfa acolite con este ejercicio gracias

Gloria

Diciembre

1. f(x)= xcubica -5x; x=2

2. f(x)= x-3/9x; x=-3

3. g(x) = x-4/x+4; x=4

Necesito ayuda para resolver los ejercicios utilizando la definicion de continuidad…… gracias

Nina

Marzo

. Los ingresos totales de una empresa de larga duración se aproxima por la
función: T(x) = 100𝑥
2
4+𝑥
2
Hola ayudemme

Donde T(x) se mide en millones de dólares y x es el número de meses desde el
inicio de la empresa
a. ¿cuál es el ingreso total después del primer, segundo y tercer mes ?
b. ¿cuál será el ingreso de la empresa a largo plazo?

Andry Dayanna Quina Iquira

Abril

Muy buenas tardes por fabor que alguien me pueda ayudar con este problema:
1. Representar una funciòn continua que tenga maximo en el punto (-2,2)

DALLANA PANTOJA SANCHEZ

Abril

NECESITO AYUDA POR FAVORRRRR!!!
a). La cantidad de nutrientes en ml que recibió un niño en un Centro Nutricional durante
un año está bajo los siguientes datos:
✓ Los cuatro primeros meses fue constante de 4 ml.
✓ Del cuarto al sexto mes fue idéntico tanto los meses como los nutrientes.
✓ Entre el sexto y octavo mes no se registraron datos
✓ A partir del octavo mes hasta el mes doce estuvo determinada por y = 2x – 16.
Realice lo siguiente:
a) Ubicar los puntos en el plano cartesiano y luego ajuste la función.
b) Determinar la regla de correspondencia f( x ).
c) Si g( x ) = x + 3, con x E [4, 10] , es otra función. Hallar ( f + g )( x )

Tatiana

Mayo

Como Desarrollar la funcion f definida por
F(×)=×+2 si×<2

Ejercicios y problemas de continuidad con soluciones

Continuidad de funciones

Continuidad en x=0

Demuestra la continuidad donde se indica

Calcular valores para garantizar la continuidad

Cancelar la respuesta

Resumen

Resumen de funciones I

Representacion de grafica de funciones

Funciones

Funciones reales

Resumen de las funciones II

Graficas y funciones

Continuidad de funciones

Teoría

Limites infinitos

Representación de puntos

Caracteristicas: graficas

Función lineal y función identidad

Función constante

Concepto de funcion II

Composicion de funciones

La funcion inversa

Funciones acotadas

Maximos y minimos absolutos y relativos

Funciones simétricas

Funciones constantes

Funciones lineales

Traslaciones de parábolas

Dilataciones y contracciones de funciones

Traslaciones de hipérbolas

Funciones radicales

Funciones definidas a trozos

Función valor absoluto

Logaritmos y funciones logaritmicas

Limite de una funcion

Limites laterales

¿Cuales son las propiedades de los límites?

Operaciones con infinito

Limites de funciones en intervalos y en un punto

Calculo de limites cuando x tiende a infinito

Las siete indeterminaciones

Limites por comparacion de infinitos

Indeterminacion division infinito entre infinito en funciones

Resolver la indeterminacion infinito menos infinito

Indeterminacion cero entre cero

Indeterminacion uno elevado a infinito

Teoria y ejercicios de la regla de L’Hopital

Funcion continua

Continuidad lateral

Continuidad de funciones

Funciones matematicas: discontinuidad

Discontinuidad evitable y discontinuidad inevitable

Discontinuidad inevitable

Discontinuidad esencial

Continuidad en un intervalo

Teorema de Weierstrass

Propiedad de Darboux

Puntos de interseccion con los ejes

Ramas parabólicas

Puntos de inflexion de una funcion

Estudio de una funcion

Funciones. Gráficas

Gráficas de funciones

Maximos y minimos de una funcion

Limite de la funcion exponencial

Funcion cuadratica

Optimizacion de funciones

Representacion grafica

¿Que son las funciones racionales?

Tipos de funciones

Simetria de una funcion

Grafica de funciones

Concavidad y convexidad de una funcion

Limite de la funcion logaritmica

¿Como leer las coordenadas en el plano?

Limite de un numero partido por cero

Representar la funcion afin

Discontinuidad evitable

Las limites en el infinito