Definición de logaritmo

 

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener dicho número.

\log_{a}x=y\Rightarrow a^{y}=x                a> 0,a\neq 1

 

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

 

 

Los logaritmos decimales tienen base 10. Se representan por \mathbf{log(x)}

 

Los logaritmos neperianos (conocidos como logaritmos naturales) tienen e. Se representan por \mathbf{ln(x)} o \mathbf{L(x)}.

 

Ejemplos de uso de la definición de logaritmo

 

Escribir los siguientes logaritmos en notación exponencial

 

1 \log_{2}(4)=2 \Rightarrow 2^{2}=4

 

2 \log_{3}(81)=4 \Rightarrow 3^{4}=81
 

3 \log_{10}(0,001)=-3 \Rightarrow 10^{-3}=0,001
 

4 \log_{2}(4)=2 \Rightarrow 2^{2}=4
 

Usando la definición de logaritmo y álgebra, calcular el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones

 
1 \displaystyle \log_{\frac{1}{2}}(0,25)=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y pasamos el 0,25 a fracción decimal y la simplificamos:

 

\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=0,25

\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=\cfrac{25}{100}

\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=\cfrac{1}{4}

 

El \displaystyle \frac{1}{4} lo ponemos en forma de potencia e igualamos los exponentes

 

\displaystyle \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{}y=\left (\cfrac{1}{2} \right )^{2}\Rightarrow \mathbf{y=2}

 

2 \log_{\sqrt{5}}(125)=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y la raíz se pone en forma de potencia de exponente fraccionario

 

\displaystyle \left (\sqrt{5} \right )^{y}=125

\displaystyle 5^{\frac{1}{2}y}=5^{3}

 

Igualamos los exponentes

 

\displaystyle \frac{1}{2}y=3\Rightarrow \mathbf{y=6}

 

3 log (0,001)=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y 0,001 se pasa a fracción decimal

 

10^{y}=0,001

\displaystyle 10^{y}=\frac{1}{1000}

 

El cociente lo pasamos a potencia de base 10 e igualamos los exponentes

 

\displaystyle 10^{y}=10^{-3}\Rightarrow \mathbf{y=-3}

 

4 \displaystyle \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}}=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo, las raíces se ponen en forma de potencia de exponente fraccionario y se igualan los exponentes

 

\displaystyle \left (\sqrt{3} \right )^{y}=\sqrt[5]{\frac{1}{81}}

\displaystyle 3^{\frac{1}{2}y}=3^{-\frac{4}{5}}

\displaystyle \mathbf{y=-\frac{8}{5}}

 

5 \displaystyle ln\left ( \frac{1}{e^{5}} \right )=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo, teniendo en cuenta que la base del logaritmo neperiano es e.

La fracción se pone en forma de potencia y se igualan los exponentes

 

\displaystyle e^{y}=\frac{1}{e^{5}}

e^{y}=e^{-5}

\mathbf{y=-5}

 

 

Propiedades de los logaritmos

 

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

 

\log(A\cdot B) = \log A + \log B

\log_{2}(4\cdot 8)=\log_{2}(4)+\log_{2}(8)=2+3=5

 

2 El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor

 

\displaystyle \log(\frac{A}{B}) = \log A - \log B

\displaystyle \log_{2}\left ( \frac{8}{4} \right )=\log_{2}(8)-\log_{2}(4)=3-2=1

 

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

 

\log A^{n} = n\cdot \log A

\log_{2}(8^{4})=4\cdot \log_{2}(8)=4\cdot 3=12

 

4 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz

 

\displaystyle \log\sqrt[n]{A} = \frac{\log A}{n} = \frac{1}{n}\cdot \log A

\displaystyle \log_{2}(\sqrt[4]{8})=\frac{1}{4}\cdot \log_{2}(8)=\frac{1}{4}\cdot 3=\frac{3}{4}

 

De las propiedades 3 y 4 podemos deducir que:

 

\displaystyle \log\sqrt[n]{A^{m}} = \frac{m\cdot \log A}{n} = \frac{m}{n}\cdot \log A

 

5 El logaritmo base 'a' de '10' es 1.

 

\log_{a}a = 1

 

6 El logaritmo de 1 es 0 (Sin importar la base del logaritmo)

 

\log 1=0

 

Por lo tanto:

\log 10=1

\ln e=1

 

7 El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero

 

Para      \log X=Y      se cumple que      X> 0

 

Función logarítmica

 

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 

f(x)=\log_{a}x

a> 0 , a\neq 1

 

Ejemplos de funciones logarítmicas

 

f(x)=\log_{2}(x)

 

x y=\log_{2}(x)
\displaystyle \frac{1}{8}
-3
\displaystyle\frac{1}{4}
-2
\displaystyle\frac{1}{2}
-1
1 0
2 1
4 2
8 3

 

 

Representación gráfica de una función logarítmica logaritmo en base 2 de x

 

f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)

 

x y=\log_{\frac{1}{2}}(x)
\displaystyle\frac{1}{8} 3
\displaystyle\frac{1}{4} 2
\displaystyle\frac{1}{2} 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3

 

Representación gráfica de la función logarítmica en base 1/2 de x

 

 

Las propiedades de las funciones logarítmicas

 

  • Dominio: \mathbb{R}^{+}
  • Recorrido: \mathbb{R}
  • Es continua
  • Los puntos (1,0) y (1,0) pertenecen a la gráfica.
  • Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
  • Creciente si a>1
  • Decreciente si 0<a<1

 

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

 

a>1

 

Representación gráfica de una función logarítmica simétrica con a › 1

 

0<a<1

 

La representación gráfica de función logarítmica simétrica 0<a<1

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗