1 Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x)=x^{2}+1+\left | 2x-1 \right |

 

Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x)=x^{2}+1+\left | 2x-1 \right |

1 Pasamos la función a una función a trozos

\left | 2x-1 \right |=0; \; \; \; \; \; x=\cfrac{1}{2}

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+1-(2x-1) & & \textup{si}\; x< \cfrac{1}{2}\\ & & \\ x^{2}+1+(2x-1) & & \textup{si}\; x\geq \cfrac{1}{2} \end{matrix}\right.

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x+2 & & \textup{si}\; x< \cfrac{1}{2}\\ & & \\ x^{2}+2x & & \textup{si}\; x\geq \cfrac{1}{2} \end{matrix}\right.

 

2 Estudiamos la continuidad en x=\cfrac{1}{2}

 

f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{5}{4}

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}(x^{2}-2x+2)=\cfrac{5}{4}

 

\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}(x^{2}+2x)=\cfrac{5}{4}

 

La función es continua en toda \mathbb{R}.

 

Gráfica de una función a trozo continua

2 Se considera la función

f(x)=\left\{\begin{matrix} \ln x & & \textup{si}\; 0< x< 1\\ ax^{2}+b & & \textup{si}\; 1\leq x< \infty \end{matrix}\right.

 

Si f(2)=3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua.

 

Se considera la función

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \ln x & & \textup{si}\; 0< x< 1\\ ax^{2}+b & & \textup{si}\; 1\leq x< \infty \end{matrix}\right.

 

Si f(2)=3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua.

 

1 Sólo existe duda de la continuidad en x = 1.

 

f(1)=a+b

 

\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}\lnx=\ln 1=0

 

\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}}ax^{2}+bx=a+b

 

2 Para que la función sea continua debe cumplirse que:

 

a+b=0

 

3 Por otro lado tenemos que:

 

f(2)=3\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 4a+b=3

 

4 Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que:

 

a=1\; \; \; \; \; b=-1

 

 

3 Dada la función:

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{2}-9}{x-3} & & \textup{si}\; x\neq 3\\ & & \\ a & & \textup{si}\; x=3 \end{matrix}\right.

Determinar el valor de a para que la función sea continua para x=3.

 

Dada la función:

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{2}-9}{x-3} & & \textup{si}\; x\neq 3\\ & & \\ a & & \textup{si}\; x=3 \end{matrix}\right.

 

Determinar el valor de a para que la función sea continua para x=3.

 

\displaystyle \lim_{x\to 3}\cfrac{x^{2}-9}{x-3}=\cfrac{0}{0}

 

1 Resolvemos la indeterminación descomponiendo el numerador en factores y simplificando la fracción

 

\displaystyle \lim_{x\to 3}\cfrac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6

 

2 Para que sea continua en x = 3, el límite cuando x tiende a 3 tiene que ser igual a la imagen de 3

\displaystyle a=\lim_{x\to 3}f(x)=6

4 Dada la función:

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ 7 & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.

 

Determinar los puntos de discontinuidad

 

Dada la función:

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ 7 & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.

 

Determinar los puntos de discontinuidad

 

1 La función exponencial es positiva para toda x\; \epsilon \; \mathbb{R}, por tanto el denominador de la función no se puede anular.

Sólo hay duda de la continuidad en x = 0.

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}}=\cfrac{7-16^{\frac{1}{0^{-}}}}{1+16^{\frac{1}{0^{-}}}}=\cfrac{7-16^{-\infty }}{1+16^{-\infty }}=\cfrac{7-0}{1+0}=7

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}}=\cfrac{7-16^{\frac{1}{0^{+}}}}{1+16^{\frac{1}{0^{+}}}}=\cfrac{7-16^{\infty }}{1+16^{\infty }}=\cfrac{\infty }{\infty }

 

2 Resolvemos la indeterminación dividiendo por 16^{\frac{1}{x}}

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{\cfrac{1}{16^{\frac{1}{x}}}-\cfrac{16^{\frac{1}{x}}}{16^{\frac{1}{x}}}}{\cfrac{1}{16^{\frac{1}{x}}}+\cfrac{16^{\frac{1}{x}}}{16^{\frac{1}{x}}}}=\cfrac{0-1}{0+1}=-1

 

3 Los límites laterales no coinciden, por tanto no es continua en x = 0

La función es continua en \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}.

Representación gráfica de una función discontinua

5 Dada la función

f(x)=\left\{\begin{matrix} \sin x & & \textup{si}\; x\leq -\cfrac{\pi }{2}\\ & & \\ a\cdot \sin x+b & & \textup{si}\; -\cfrac{\pi }{2}< x< \cfrac{\pi }{2}\\ & & \\ 2\cos x & & \textup{si}\; x\geq \cfrac{\pi }{2} \end{matrix}\right.

 

Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x.

 

Dada la función

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \sin x & & \textup{si}\; x\leq -\cfrac{\pi }{2}\\ & & \\ a\cdot \sin x+b & & \textup{si}\; -\cfrac{\pi }{2}< x< \cfrac{\pi }{2}\\ & & \\ 2\cos x & & \textup{si}\; x\geq \cfrac{\pi }{2} \end{matrix}\right.

 

Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x.

 

1 La imagen de -\cfrac{\pi }{2} es igual a su límite por la izquierda

 

\displaystyle f\left ( -\frac{\pi }{2} \right )=\lim_{x\to \left (-\frac{\pi }{2} \right )^{-}}\sin x=-1

 

2 La imagen de -\cfrac{\pi }{2} es igual a su límite por la derecha

 

\displaystyle \lim_{x\to\left ( -\frac{\pi }{2} \right )^{+}}(a\cdot \sin x+b)=-a+b

 

-a+b=1

 

3 La imagen de \cfrac{\pi }{2} es igual a su límite por la izquierda

 

\displaystyle \lim_{x\to \left ( \frac{\pi }{2} \right )^{+}}(a\cdot \sin x+b)=a+b

 

3 La imagen de \cfrac{\pi }{2} es igual a su límite por la derecha

 

\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=\lim_{x\to \left (\frac{\pi }{2} \right )^{+}}2\cdot \cos x=0

 

a+b=0

 

4 Resolvemos el sistema de las ecuaciones para a y b

 

a=\frac{1}{2}\; \; \; \; \; b=-\frac{1}{2}

6 Sea la función:

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | 3-x \right |& &\textup{si}\; x< 7\\ ax+4 & & \textup{si}\; 7\leq x< 10 \end{matrix}\right.

 

Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

 

Sea la función:

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | 3-x \right |& &\textup{si}\; x< 7\\ ax+4 & & \textup{si}\; 7\leq x< 10 \end{matrix}\right.

 

Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

 

1 En esta función a trozos las dos funciones parciales son continuas en sus dominios. Estudiaremos el comportamiento de la función en el punto de unión.

 

\displaystyle \lim_{x\to 7^{-}}\left | 3-x \right |=4

 

\displaystyle \lim_{x\to 7^{+}}(ax+4)=7a+4

 

7a+4=4\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; a=0

7 Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ k & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.

 

Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ k & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |}=\lim_{x\to 0^{-}}\cfrac{x^{3}+2x}{-x}=\lim_{x\to 0^{-}}(x^{2}-2)=-2

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |}=\lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{x^{3}+2x}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}(x^{2}+2)=2

 

Por tanto no existe límite en x = 0

No se puede conseguir que f(x) sea continua en x = 0, sea cual sea el valor que se le dé a k.

8 Dada la función:

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} & & \textup{si}\;x< 0 \\ ax+b & & \textup{si}\;0\leq x< 1 \\ 2 & & \textup{si}\;x\geq 1 \end{matrix}\right.

 

Hallar a y b para que la función sea continua.

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} & & \textup{si}\;x< 0 \\ ax+b & & \textup{si}\;0\leq x< 1 \\ 2 & & \textup{si}\;x\geq 1 \end{matrix}\right.

 

Hallar a y b para que la función sea continua.

 

1 Estudiamos la continuidad en x = 0

 

f(0)=b-

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}x^{2}=0

 

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}ax+b=b

 

b=0

 

2 Estudiamos la continuidad en x = 1

 

f(1)=2

 

\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}ax+b=a+b

 

\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}}2=2

 

a+b=2

 

a=2\; \; \; \; \; b=0

9 Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{x^{2}+1} & & \textup{si}\;x< 0 \\ & & \\ ax+b & & \textup{si}\; 0\leq x\leq 3 \\ & & \\ x-5 & & \textup{si}\;x> 3 \end{matrix}\right.

 

Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua.

 

f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{x^{2}+1} & & \textup{si}\;x< 0 \\ & & \\ ax+b & & \textup{si}\; 0\leq x\leq 3 \\ & & \\ x-5 & & \textup{si}\;x> 3 \end{matrix}\right.

 

Estudiamos la continuidad en x = 0

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\cfrac{1}{x^{2}+1}=1

 

\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(ax+b)=b

 

b=1

 

Estudiamos la continuidad en x = 3

 

\displaystyle \lim_{x\to 3^{-}}(ax+1)=3a+1

 

\displaystyle \lim_{x\to 3^{+}}(x-5)=-2

 

3a+1=-2\; \; \; \; \;\Rightarrow \; \; \; \; \; a=-1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗