Name: Ejercicios de continuidad
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1 Encontrar los puntos de discontinuidad de la función $f(x)=x^{2}+1+\left | 2x-1 \right |$

Encontrar los puntos de discontinuidad de la función $f(x)=x^{2}+1+\left | 2x-1 \right |$

1 Pasamos la función a una función a trozos

$\left | 2x-1 \right |=0; \; \; \; \; \; x=\cfrac{1}{2}$

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+1-(2x-1) & & \textup{si}\; x< \cfrac{1}{2}\\ & & \\ x^{2}+1+(2x-1) & & \textup{si}\; x\geq \cfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x+2 & & \textup{si}\; x< \cfrac{1}{2}\\ & & \\ x^{2}+2x & & \textup{si}\; x\geq \cfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

2 Estudiamos la continuidad en $x=\cfrac{1}{2}$

$f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{5}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}(x^{2}-2x+2)=\cfrac{5}{4}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}(x^{2}+2x)=\cfrac{5}{4}$

La función es continua en toda $\mathbb{R}$ .

Gráfica de una función a trozo continua

2 Se considera la función

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \ln x & & \textup{si}\; 0< x< 1\\ ax^{2}+b & & \textup{si}\; 1\leq x< \infty \end{matrix}\right.$

Si $f(2)=3$ , determinar los valores de $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua.

Se considera la función

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \ln x & & \textup{si}\; 0< x< 1\\ ax^{2}+b & & \textup{si}\; 1\leq x< \infty \end{matrix}\right.$

Si $f(2)=3$ , determinar los valores de $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua.

1 Sólo existe duda de la continuidad en $x = 1$ .

$f(1)=a+b$

$\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}\lnx=\ln 1=0$

$\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}}ax^{2}+bx=a+b$

2 Para que la función sea continua debe cumplirse que:

$a+b=0$

3 Por otro lado tenemos que:

$f(2)=3\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 4a+b=3$

4 Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que:

$a=1\; \; \; \; \; b=-1$

3 Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{2}-9}{x-3} & & \textup{si}\; x\neq 3\\ & & \\ a & & \textup{si}\; x=3 \end{matrix}\right.$

Determinar el valor de a para que la función sea continua para $x=3$ .

Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{2}-9}{x-3} & & \textup{si}\; x\neq 3\\ & & \\ a & & \textup{si}\; x=3 \end{matrix}\right.$

Determinar el valor de a para que la función sea continua para $x=3$ .

$\displaystyle \lim_{x\to 3}\cfrac{x^{2}-9}{x-3}=\cfrac{0}{0}$

1 Resolvemos la indeterminación descomponiendo el numerador en factores y simplificando la fracción

$\displaystyle \lim_{x\to 3}\cfrac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$

2 Para que sea continua en $x = 3$ , el límite cuando $x$ tiende a $3$ tiene que ser igual a la imagen de $3$

$\displaystyle a=\lim_{x\to 3}f(x)=6$

4 Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ 7 & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.$

Determinar los puntos de discontinuidad

Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ 7 & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.$

Determinar los puntos de discontinuidad

1 La función exponencial es positiva para toda $x\; \epsilon \; \mathbb{R}$ , por tanto el denominador de la función no se puede anular.

Sólo hay duda de la continuidad en $x = 0$ .

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}}=\cfrac{7-16^{\frac{1}{0^{-}}}}{1+16^{\frac{1}{0^{-}}}}=\cfrac{7-16^{-\infty }}{1+16^{-\infty }}=\cfrac{7-0}{1+0}=7$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{7-16^{\frac{1}{x}}}{1+16^{\frac{1}{x}}}=\cfrac{7-16^{\frac{1}{0^{+}}}}{1+16^{\frac{1}{0^{+}}}}=\cfrac{7-16^{\infty }}{1+16^{\infty }}=\cfrac{\infty }{\infty }$

2 Resolvemos la indeterminación dividiendo por $16^{\frac{1}{x}}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{\cfrac{1}{16^{\frac{1}{x}}}-\cfrac{16^{\frac{1}{x}}}{16^{\frac{1}{x}}}}{\cfrac{1}{16^{\frac{1}{x}}}+\cfrac{16^{\frac{1}{x}}}{16^{\frac{1}{x}}}}=\cfrac{0-1}{0+1}=-1$

3 Los límites laterales no coinciden, por tanto no es continua en $x = 0$

La función es continua en $\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$ .

Representación gráfica de una función discontinua

5 Dada la función

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \sin x & & \textup{si}\; x\leq -\cfrac{\pi }{2}\\ & & \\ a\cdot \sin x+b & & \textup{si}\; -\cfrac{\pi }{2}< x< \cfrac{\pi }{2}\\ & & \\ 2\cos x & & \textup{si}\; x\geq \cfrac{\pi }{2} \end{matrix}\right.$

Determinar $a$ y $b$ de modo que la función $f$ sea continua para todo valor de $x$ .

Dada la función

Determinar $a$ y $b$ de modo que la función f sea continua para todo valor de $x$ .

1 La imagen de $-\cfrac{\pi }{2}$ es igual a su límite por la izquierda

$\displaystyle f\left ( -\frac{\pi }{2} \right )=\lim_{x\to \left (-\frac{\pi }{2} \right )^{-}}\sin x=-1$

2 La imagen de $-\cfrac{\pi }{2}$ es igual a su límite por la derecha

$\displaystyle \lim_{x\to\left ( -\frac{\pi }{2} \right )^{+}}(a\cdot \sin x+b)=-a+b$

$-a+b=1$

3 La imagen de $\cfrac{\pi }{2}$ es igual a su límite por la izquierda

$\displaystyle \lim_{x\to \left ( \frac{\pi }{2} \right )^{+}}(a\cdot \sin x+b)=a+b$

3 La imagen de $\cfrac{\pi }{2}$ es igual a su límite por la derecha

$\displaystyle f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=\lim_{x\to \left (\frac{\pi }{2} \right )^{+}}2\cdot \cos x=0$

$a+b=0$

4 Resolvemos el sistema de las ecuaciones para $a$ y $b$

$a=\frac{1}{2}\; \; \; \; \; b=-\frac{1}{2}$

6 Sea la función:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | 3-x \right |& &\textup{si}\; x< 7\\ ax+4 & & \textup{si}\; 7\leq x< 10 \end{matrix}\right.$

Determinar el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua.

Sea la función:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \left | 3-x \right |& &\textup{si}\; x< 7\\ ax+4 & & \textup{si}\; 7\leq x< 10 \end{matrix}\right.$

Determinar el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua.

1 En esta función a trozos las dos funciones parciales son continuas en sus dominios. Estudiaremos el comportamiento de la función en el punto de unión.

$\displaystyle \lim_{x\to 7^{-}}\left | 3-x \right |=4$

$\displaystyle \lim_{x\to 7^{+}}(ax+4)=7a+4$

$7a+4=4\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; a=0$

7 Calcular el valor de $k$ para que la siguiente función sea continua.

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ k & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.$

Calcular el valor de $k$ para que la siguiente función sea continua.

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |} & & \textup{si}\; x\neq 0\\ & & \\ k & & \textup{si}\; x=0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |}=\lim_{x\to 0^{-}}\cfrac{x^{3}+2x}{-x}=\lim_{x\to 0^{-}}(x^{2}-2)=-2$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{x^{3}+2x}{\left | x \right |}=\lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{x^{3}+2x}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}(x^{2}+2)=2$

Por tanto no existe límite en $x = 0$

No se puede conseguir que $f(x)$ sea continua en $x = 0$ , sea cual sea el valor que se le dé a $k$ .

8 Dada la función:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} & & \textup{si}\;x< 0 \\ ax+b & & \textup{si}\;0\leq x< 1 \\ 2 & & \textup{si}\;x\geq 1 \end{matrix}\right.$

Hallar $a$ y $b$ para que la función sea continua.

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} & & \textup{si}\;x< 0 \\ ax+b & & \textup{si}\;0\leq x< 1 \\ 2 & & \textup{si}\;x\geq 1 \end{matrix}\right.$

Hallar $a$ y $b$ para que la función sea continua.

1 Estudiamos la continuidad en $x = 0$

$f(0)=b$ -

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}x^{2}=0$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}ax+b=b$

$b=0$

2 Estudiamos la continuidad en $x = 1$

$f(1)=2$

$\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}ax+b=a+b$

$\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}}2=2$

$a+b=2$

$a=2\; \; \; \; \; b=0$

9 Calcular los valores de $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua.

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{x^{2}+1} & & \textup{si}\;x< 0 \\ & & \\ ax+b & & \textup{si}\; 0\leq x\leq 3 \\ & & \\ x-5 & & \textup{si}\;x> 3 \end{matrix}\right.$

Calcular los valores de $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua.

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{x^{2}+1} & & \textup{si}\;x< 0 \\ & & \\ ax+b & & \textup{si}\; 0\leq x\leq 3 \\ & & \\ x-5 & & \textup{si}\;x> 3 \end{matrix}\right.$

Estudiamos la continuidad en $x = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}\cfrac{1}{x^{2}+1}=1$