Definición

 

La función exponencial es aquella que a cada valor real {x} le asigna la potencia {a^x} con {a > 0} y {a \neq 1}. Esta función se expresa

 

{f(x) = a^x}

 

el número {a} se denomina base.

 

Gráficas de funciones exponenciales

Estudiemos el comportamiento de la función exponencial de acuerdo a su base

 

Construimos una tabla de valores para {f(x) = 2^x}

 

{x}{f(x)}
-31/8
-21/4
-11/2
01
12
24
38

Trazamos la gráfica

 

Gráfica de una función exponencial
Ahora construimos una tabla de valores para {g(x) = \displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^x}

 

{x}{g(x)}
-38
-24
-12
01
11/2
21/4
31/8

Trazamos la gráfica

 

Graficación de una función exponencial

 

Observamos que la primera función es estrictamente creciente, mientras que la segunda es estrictamente decreciente; además ambas son simétricas respecto al eje {y}

 

Gráfica de 2 funciones exponenciales

 

Función exponencial natural

Esta se denota por {f(x) = e^x } donde {e} está dado por

 

{e = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }

 

Esta notación fue introducida por Leonhard Euler hacia 1730, al descubrir muchas propiedades de este número. El número {e} es irracional y sus primeras diez cifras decimales son {2. 7182818284 \dots}.

 

Propiedades de la función exponencial

 

1 Dominio: {\mathbb{R}}.

 

2 Recorrido: {(0, \infty)}.

 

3 Es continua.

 

4Los puntos {(0,1)} y {(1,a)} pertenecen a la gráfica.

 

5 Es inyectiva {\forall a \neq 1} (ninguna imagen tiene más de un original).

 

6 Creciente si {a > 1}.

 

7 Decreciente si {0 < a < 1}.

 

8 Las curvas {f(x) = a^x} y {g(x) = \displaystyle \left( \frac{1}{a} \right)^x } son simétricas respecto al eje {y}.

 

9 La función exponencial {f(x) = a^x}, con {a > 1} eventualmente crece más rápido que la función potencia {x^n} para cualquier {n \in \mathbb{N}}.

 

10 La función inversa de la función exponencial {f(x) = a^x} es {f^{-1}(x) = \log_a x }. La función inversa de la exponencial natural es {f^{-1} = \ln x }.

 

Aplicaciones de la función exponencial

Las funciones exponenciales se emplean para modelar una amplia variedad de fenómenos como el crecimiento de poblaciones y las tasas de interés.

 

Crecimiento y decrecimiento exponencial

La fórmula que se emplea para modelar el crecimiento de una población viene dada por

 

{P(t) = P_0 e^{kt} }

 

La función {P(t)} crece exponencialmente y representa la cantidad de la población a tiempo {t}; {k} representa la constante de crecimiento o decrecimiento; si {k > 0} se llama constante de crecimiento, mientras que si {k < 0} se llama constante de decrecimiento. {P_0} representa la población inicial a tiempo cero, esto es, {P(0) = P_0}.

 

La fórmula anterior se encuentra expresada en función de la exponencial natural, pero en algunas ocasiones se expresa con base {a}, esto es sencillo de obtener, basta aplicar las propiedades de los exponentes a {e^{kt} = \left( e^k \right)^t } y considerar {a = e^k} para obtener

 

{P(t) = P_0 a^t}

 

Ejemplo: Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación  se tienen {3,500} bacterias y media hora después se tienen {5,489}, encuentra:

 

1 La cantidad de bacterias al cabo de dos horas.

2 La cantidad de bacterias al cabo de tres horas.

3 La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora.

4 El tiempo requerido para duplicar la población inicial.

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a {15,000}?

 

Para poder responder a lo solicitado, primero necesitamos conocer en la fórmula de crecimiento poblacional {P(t) = P_0 e^{kt} } con {t } expresado en minutos.

 

Notamos que conocemos la población inicial {P_0 = 3,500 }, pero nos falta el valor de la constante de crecimiento. Para encontrar el valor de {k } utilizamos los datos del problema: {P(30) = 5,489 } en la fórmula de crecimiento

 

{ 3,500 e^{30k} = P(30) = 5,489 }

 

Dividiendo ambos lados por { 3,500 } y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

 

{\begin{array}{rcl} 3,500 e^{30k}  & = & 5,489 \\\\ e^{30k} & = & \displaystyle \frac{5,489}{3,500}  \\\\ \ln \left ( e^{30k}\right ) & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{5,489}{3,500} \right ) \\\\ 30k & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{5,489}{3,500} \right ) \\\\ k & = & 0.015 \end{array} }

 

Así la función que modela el crecimiento de la población de bacterias es

 

{P(t) = 3,500 e^{0.015t} }

 

1 La cantidad de bacterias al cabo de dos horas es

 

{P(120) = 3,500 e^{0.015(120)} = 21, 173 }

 

2 La cantidad de bacterias al cabo de tres horas

 

{P(180) = 3,500 e^{0.015(180)} = 52, 079 }

 

3 La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora

 

Durante la segunda hora, el tiempo de {t = 60} a {t = 120}, la población cambió en {P(120) - P(60)}, por lo que la tas promedio en este periodo de tiempo es

 

{\begin{array}{rcl} A & = & \displaystyle \frac{P(120) - P(60)}{120 - 60} \\\\ & = & \displaystyle \frac{21,173 - 8,608}{60} \\\\ & \approx & 209 \end{array}}

 

La población aumenta a la tasa promedio aproximada de {209} bacterias por minuto durante la segunda hora.

 

4 El tiempo requerido para duplicar la población inicial

 

Para esto empleamos la siguiente igualdad

 

{ 3,500 e^{300.015 t} = 2(3,500) }

 

Dividiendo ambos lados por { 3,500 } y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

 

{\begin{array}{rcl} 3,500 e^{0.015 t}  & = & 2(3,500) \\\\ e^{0.015 t} & = & \displaystyle \frac{2(3,500)}{3,500}  \\\\ \ln \left ( e^{0.015 t}\right ) & = & \ln \left ( \displaystyle 2 \right ) \\\\ 0.015 t & = & \ln \left ( \displaystyle 2 \right ) \\\\ t & \approx & 46.21 \end{array} }

 

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias se duplique es { 46.21 } minutos.

 

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a {15,000}?

 

Para esto empleamos la siguiente igualdad

 

{ 3,500 e^{300.015 t} = 15,000 }

 

Dividiendo ambos lados por { 3,500 } y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

 

{\begin{array}{rcl} 3,500 e^{0.015 t}  & = & 15,000 \\\\ e^{0.015 t} & = & \displaystyle \frac{15,000}{3,500}  \\\\ \ln \left ( e^{0.015 t}\right ) & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{15,000}{3,500} \right ) \\\\ 0.015 t & = & \ln \left ( \displaystyle \frac{15,000}{3,500} \right ) \\\\ t & \approx & 97.02 \end{array} }

 

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias sea de { 15,000 } es de { 97.02 } minutos.

 

 Interés compuesto

Se invierte una cantidad inicial de dinero {P_0} a una tasa de interés {r} expresada en decimales. Si el interés se capitaliza una sola vez, entonces el saldo a obtener {P} después de sumar el interés es

 

{P = P_0 +P_0 r = P_0 (1+r)}

 

Si el interés se capitaliza más de una vez, el interés que se suma a la cuenta durante un periodo ganará interés durante los periodos siguientes. Si la tasa anual de interés es {r} y el interés se capitaliza {k-}veces por año, entonces al final de {t} años, el interés se capitalizó {kt-}veces y el saldo llamado valor futuro es

 

{P(t) = P_0 \left( 1 +\displaystyle \frac{r}{k} \right)^{kt} }

 

Ejemplo: Si se invierten {\$ 500} a una tasa de {5\%} anual. Hallar el valor futuro a {3} años si el interés es compuesto trimestralmente.

 

Para encontrar el valor futuro después de {3} años si el interés se capitaliza trimestralmente, empleamos {t = 3, P_0 = 500, r = 0.05, k = 4}.

 

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

 

{P(3) = 500 \left( 1 +\displaystyle \frac{0.05}{4} \right)^{(4)(3)} = 580.37 }

 

El saldo obtenido después de {3} años es de {\$ 580.38}

 

Interés compuesto continuamente

Para saber el saldo de una inversión al final de {t} años cuando la frecuencia de capitalización se incrementa sin límite, esto es, el interés no se capitaliza trimestral, ni mensual, ni diariamente, sino continuamente, se emplea la fórmula

 

{P(t) = P_0 e^{kt} }

 

Ejemplo: Si se invierten {\$ 500} a una tasa de {5\%} anual. Hallar el valor futuro a {3} años si el interés es compuesto continuamente.

 

Para encontrar el valor futuro después de {3} años si el interés se capitaliza continuamente, empleamos {t = 3, P_0 = 500, r = 0.05}.

 

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

 

{P(3) = 500 e^{(0.05)(3)} = 580.92 }

 

El saldo obtenido después de {3} años es de {\$ 580.92} y es el límite superior para el saldo posible.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗