Las funciones exponenciales son aquellas en las que encontramos a la variable independiente en el exponente, por ejemplo:

f(x)=A\cdot B \, ^{x}

 

N(t)=A + Be^{t}

 

Existen diversos modelos matemáticos que nos permiten describir algunos fenómenos con alguna función exponencial.

Decaimiento Radiactivo

 

1 En una muestra de un fósil se detectó que el 0.003% del Carbono contenido es Carbono 14 \left (^{14}C \right ). Si se sabe que el  ^{14}C representa el 1% del Carbono presente en un ser vivo y que la vida media del ^{14}C es de 5730 años, ¿Qué tan antiguo es el fósil?

En una muestra de un fósil se detectó que el 0.003% del Carbono contenido es Carbono 14 \left (^{14}C \right ). Si se sabe que el  ^{14}C representa el 1% del Carbono presente en un ser vivo y que la vida media del ^{14}C es de 5730 años, ¿Qué tan antiguo es el fósil?

 

1 Para el decaimiento radiactivo se cumple la siguiente función exponencial

 

C(t)=C_{0}\cdot 2^{-\frac{t}{n}}

 

Donde:

 

C(t) es la cantidad del isotopo radiactivo al tiempo 't'

 

C_{0} es la cantidad inicial de ^{14}C en la muestra

 

n es la vida media del isotopo radiactivo en años

 

t es el tiempo transcurrido en años

 

2 Despejamos la variable t de la función exponencial

 

\begin{matrix} C(t)=C_{0}\cdot 2^{-\frac{t}{n}} \\ \\ C=C_{0}\cdot 2^{-\frac{t}{n}}\\ \\ \cfrac{C}{C_{0}}=2^{-\frac{t}{n}} \\ \\ \log \left (\cfrac{C}{C_{0}} \right )=\log 2^{-\frac{t}{n}}\\ \\ \log \left (\cfrac{C}{C_{0}} \right )=-\cfrac{t}{n}\log 2\\ \\ t=-\cfrac{n\cdot \log \left (\cfrac{C}{C_{0}} \right )}{\log 2} \end{matrix}

 

3 Sustituimos los datos y resolvemos las operaciones para obtener el valor de t

 

t=-\cfrac{5730\cdot \log \left (\cfrac{0.00003}{0.01} \right )}{\log 2}

 

t=48022.10

 

4 El fósil tiene 48022 años de antigüedad

Crecimiento Poblacional

 

2 Sabemos que la cantidad, 'N', de insectos en 't' años  está dada por una función exponencial del tipo N=N_{0}e^{k\cdot t}. Un grupo de biólogos estimó que la población creció en 20% durante los últimos 3 años y saben que si la población crece en un 70% con respecto a la población original se convertiría en una plaga. ¿En cuántos años se estima que la población de insectos se convierta en una plaga?

Sabemos que la cantidad, 'N', de insectos en 't' años  está dada por una función exponencial del tipo N=N_{0}e^{k\cdot t}. Un grupo de biólogos estimó que la población creció en 20% durante los últimos 3 años y saben que si la población crece en un 70% con respecto a la población original se convertiría en una plaga. ¿En cuántos años se estima que la población de insectos se convierta en una plaga?

 

1 Como no conocemos el valor de la constante 'k' debemos utilizar los datos que nos dan para obtenerla. Así que primero despejaremos 'k'

 

\begin{matrix} N=N_{0}e^{k\cdot t}\\ \\ \cfrac{N}{N_{0}}=e^{k\cdot t}\\ \\ \ln \left ( \cfrac{N}{N_{0}} \right )=\ln e^{k\cdot t}\\ \\ \ln \left ( \cfrac{N}{N_{0}} \right )=k\cdot t\\ \\ k=\cfrac{\ln \left ( \cfrac{N}{N_{0}} \right )}{t} \end{matrix}

 

2 Sustituimos los datos obtenidos para calcular el valor de 'k'

 

k=\cfrac{\ln \left ( \cfrac{1.20N_{0}}{N_{0}} \right )}{3}

 

k=\cfrac{\ln 1.20 }{3}

 

k=0.0608

 

3 La función exponencial nos queda como

 

N=N_{0}e^{0.0608\cdot t}

 

4 Despejamos la variable 't'

 

t=\cfrac{\ln \left ( \cfrac{N}{N_{0}} \right )}{0.0608}

 

5 Sustituimos la condición N=1.70N_{0} y resolvemos

 

t=\cfrac{\ln \left ( \cfrac{1.70N}{N_{0}} \right )}{0.0608}

 

t=\cfrac{\ln 1.70}{0.0608}

 

t=8.72

 

6 La población crecerá en 70% a los 8.72 años

 

3 El crecimiento de la población humana puede describirse mediante una función de crecimiento logístico. Para la población de una isla caribeña se sabe que se ajusta a la función P(t)=\cfrac{210000}{1+34e^{-0.012t}} y t=0 corresponde a la población que había en la isla en el año 2000.
A¿Cuántos habitantes habrá en 2025?
B¿En cuántos años se duplicará la población con respecto a la que había en 2020?

El crecimiento de la población humana puede describirse mediante una función de crecimiento logístico. Para la población de una isla caribeña se sabe que se ajusta a la función P(t)=\cfrac{210000}{1+34e^{-0.012t}} y t=0 corresponde a la población que había en la isla en el año 2000.

 

A ¿Cuántos habitantes habrá en 2025?

 

1 Sustituimos t=25 en la función y resolvemos

 

P(25)=\cfrac{210000}{1+34e^{-0.012(25)}}

 

P(25)=8018.99

 

B ¿En cuántos años se duplicará la población con respecto a la que había en el 2000?

 

1 Calculamos P(0)

 

P(0)=\cfrac{210000}{1+34e^{-0.012(0)}}

 

P(0)=6000

 

2 Despejamos la variable 't'

 

P(1+34e^{-0.012t})=210000

 

1+34e^{-0.012t}=\cfrac{210000}{P}

 

34e^{-0.012t}=\cfrac{210000}{P}-1

 

34e^{-0.012t}=\cfrac{210000-P}{P}

 

e^{-0.012t}=\cfrac{210000-P}{34P}

 

-0.012t=\ln \left (\cfrac{210000-P}{34P} \right )

 

t=\cfrac{\ln \left (\cfrac{210000-P}{34P} \right )}{-0.012}

 

2 Sustituimos P=12000

 

t=\cfrac{\ln \left (\cfrac{210000-12000}{34(12000)} \right )}{-0.012}

 

t=60.25

 

3 La población se duplicará durante el año 2060, aproximadamente.

 

Ley de enfriamiento de Newton

 

4 La temperatura corporal de una persona es de 37 ºC. Se sabe que cuando una persona fallece, en promedio tarda 20 horas para que su temperatura corporal llegue a 27ºC si la temperatura del medio ambiente permanece a 25ºC. Si el cuerpo humano cumple con la Ley de enfriamiento de Newton:

 

T=T'+Ce^{kt}

 

Siendo T, la temperatura a las 't' horas y T' la temperatura del ambiente.

 

Un médico forense observa que la temperatura de una persona que falleció es de 29ºC y la temperatura ambiente se mantuvo a 25ºC desde el fallecimiento. Si el reloj del médico marca las 7:00pm, ¿A qué hora se estima el fallecimiento?

La temperatura corporal de una persona es de 37 ºC. Se sabe que cuando una persona fallece, en promedio tarda 20 horas para que su temperatura corporal llegue a 27ºC si la temperatura del medio ambiente permanece a 25ºC. Si el cuerpo humano cumple con la Ley de enfriamiento de Newton:

 

T=T'+Ce^{kt}

 

Siendo T, la temperatura a las 't' horas y T' la temperatura del ambiente.

 

Un médico forense observa que la temperatura de una persona que falleció es de 29ºC y la temperatura ambiente se mantuvo a 25ºC desde el fallecimiento. Si el reloj del médico marca las 7:00pm, ¿A qué hora se estima el fallecimiento?

 

1 Con los datos que nos da el problema podemos calcular el valor de las constantes 'C' y 'k'. Primero, evaluemos la ecuación en t=0

 

T=T'+Ce^{kt}

 

37=25+Ce^{k\cdot 0}

 

37=25+C

 

C=12

 

\Rightarrow T=T'+12\cdot e^{kt}

 

2 Despejamos la constante 'k' y sustituimos los datos cuando t=20

 

T=T'+12\cdot e^{kt}

 

T-T'=12\cdot e^{kt}

 

\ln \left (\cfrac{T-T'}{12} \right )=kt

 

k=\frac{\ln \left (\cfrac{T-T'}{12} \right )}{t}

 

k=\frac{\ln \left (\cfrac{27-25}{12} \right )}{20}

 

k=-0.0896

 

\Rightarrow T=T'+12\cdot e^{-0.0896t}

 

3 De la función resultante despejamos a 't' y sustituimos los datos cuando T=29

 

\ln \left (\cfrac{T-T'}{12} \right )=-0.0896t

 

t=-\cfrac{\ln \left (\cfrac{T-T'}{12} \right )}{0.0896}

 

t=-\cfrac{\ln \left (\cfrac{29-25}{12} \right )}{0.0896}

 

t=-\cfrac{\ln \left (\cfrac{29-25}{12} \right )}{0.0896}

 

Han pasado alrededor de 12.26 horas

 

4 La persona falleció un poco antes de las 7:00am

Interés Compuesto

5 Una persona invierte un capital de 3200 euros en un banco que le ofrece una tasa de interés anual del 7.5%
A ¿A cuánto ascendería su capital en 3 años?
B ¿En cuántos años tendría un capital de 5000 euros?

Una persona invierte un capital de 3200 euros en un banco que le ofrece una tasa de interés anual del 7.5%

 

A ¿A cuánto ascendería su capital en 3 años?

 

1 La fórmula para calcular el interés compuesto es

 

C_{f}=C_{i}(1+i)^{n}

 

2 Sustituimos los datos para calcular el capital final

 

C_{f}=3200(1+0.075)^{3}

 

C_{f}=3975

 

3 En 3 años, el capital ascenderá a 3975 euros

 

B ¿En cuántos años tendría un capital de 5000 euros?

 

1 Despejamos la variable 'n' de la función

 

C_{f}=C_{i}(1+i)^{n}

 

\cfrac{C_{f}}{C_{i}}=(1+i)^{n}

 

\log \left (\cfrac{C_{f}}{C_{i}} \right )=\log (1+i)^{n}

 

\log \left (\cfrac{C_{f}}{C_{i}} \right )=n\cdot \log (1+i)

 

n=\cfrac{\log \left (\cfrac{C_{f}}{C_{i}} \right )}{\log (1+i)}

 

2 Sustituimos los datos para obtener el valor de 'n'

 

n=\cfrac{\log \left (\cfrac{5000}{3200} \right )}{\log (1+0.075)}

 

n=6.17

 

3 Se requieren más de 6 años para que el capital ascienda a 5000 euros

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Luis

Doctor en Biología Experimental 14 años de experiencia como profesor particular de Matemáticas, Física, Química y Biología.