Prioridad en la realización de operaciones

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

 

2 Calcular las potencias y raíces.

 

3 Efectuar los productos y cocientes.

 

4 Realizar las sumas y restas.

 

Tipos de operaciones combinadas

 

Podemos clasificar las operaciones de la siguiente manera, lo cual nos permitirá entender mejor el orden de las operaciones:

 

Operaciones combinadas sin paréntesis

 

1.1 Combinación de sumas y diferencias

 

Consideremos, por ejemplo, la siguiente operación combinada:

 

9 - 7 + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 =

 

Para realizarla, empezamos por la izquierda y vamos efectuando las operaciones según aparecen:

 

    \begin{align*} \mathbf{9 - 7} + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 & = \mathbf{2 + 5} + 2 - 6 + 8 - 4\\ & = \mathbf{7 + 2} - 6 + 8 - 4\\ & = \mathbf{9 - 6} + 8 - 4\\ & = \mathbf{3 + 8} -4\\ & = \mathbf{11 - 4}\\ & = \mathbf{7} \end{align*}

 

1.2 Combinación de sumas, restas y productos

 

Ahora consideremos la siguiente operación, la cual incluye multiplicaciones:

 

3 \cdot 2 - 5 + 4 \cdot 3 - 8 + 5 \cdot 2 =

 

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

 

\mathbf{3 \cdot 2} - 5 + \mathbf{4 \cdot 3} - 8 + \mathbf{5 \cdot 2} = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =

 

Luego efectuamos las sumas y restas (de izquierda a derecha).

 

    \begin{align*} 3 \cdot 2 - 5 + 4 \cdot 3 - 8 + 5 \cdot 2 & = 6 \mathbf{-} 5 \mathbf{+} 12 \mathbf{-} 8 \mathbf{+} 10\\ & = \mathbf{15} \end{align*}

 

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones

 

Consideremos una operación que también incluye divisiones:

 

\mathbf{10 : 2} + 5 \cdot 3 + 4 - 5 \cdot 2 - 8 - \mathbf{16 : 4} =

 

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos, de izquierda a derecha, porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

 

\cdots = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 - 4 =

 

Por último, efectuamos las sumas y restas, también de izquierda a derecha.

 

\cdots = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 - 4 = \mathbf{2}

 

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias

 

Veamos ahora la siguiente operación que incluye potencias:

 

\mathbf{2^3} + 10 : 2 + 5\cdot 3 + 4 - 5\cdot 2 - 8 + 4 \cdot \mathbf{2^2} - 16 : 4 =

 

Primero realizamos las potencias por tener mayor prioridad.

 

\cdots = 8 + \mathbf{10 : 2} + \mathbf{5 \cdot 3} + 4 - \mathbf{5 \cdot 2} - 8 + \mathbf{4 \cdot 4} - \mathbf{16 : 4} =

 

Luego realizamos los productos y cocientes.

 

\cdots = 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =

 

Por último, efectuamos las sumas y restas, de izquierda a derecha.

 

\cdots = \mathbf{26}

 

Operaciones combinadas con paréntesis

 

Ahora consideraremos las operaciones que utilizan paréntesis. Por ejemplo:

 

(\mathbf{15 - 4}) + 3 - (\mathbf{12 - 5\cdot 2}) + (\mathbf{5 + 16 : 4}) -5 + (\mathbf{10 - 2^3})=

 

Realizamos, primero, las operaciones contenidas en los paréntesis. Empezamos con las potencias y luego las multiplicaciones y divisiones:

 

\cdots = (\mathbf{15 - 4}) + 3 - (\mathbf{12 - 10}) + (\mathbf{5 + 4}) - 5 + (\mathbf{10 - 8})=

 

Continuamos con las sumas y restas dentro de los paréntesis. Notemos que podemos retirar los paréntesis una vez que realizamos todas las operaciones dentro ellos:

 

\cdots = 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = \mathbf{18}

 

Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

 

Por último veremos las operaciones en donde combinamos todo: paréntesis, corcheas, potencias, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas.

 

[15 - (\mathbf{2^3 - 10 : 2 })] \cdot [5 + (\mathbf{3 \cdot 2 - 4 })] - 3 + (\mathbf{8 - 2 \cdot 3}) =

 

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

 

\cdots = [15 - (\mathbf{8 - 5})] \cdot [5 + (\mathbf{6 - 4})] - 3 + (\mathbf{8 - 6}) =

 

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

 

\cdots = [\mathbf{15 -3}] \cdot [\mathbf{5 + 2 }] - 3 + 2=

 

Operamos en los corchetes.

 

\cdots= \mathbf{12 \cdot 7} - 3 + 2

 

Multiplicamos.

 

\cdots = 84 - 3 + 2=

 

Restamos y sumamos.

 

\cdots = \mathbf{83}

 

Ejercicios propuestos

Realiza las siguientes operaciones:

127 + 3 \cdot 5 - 16 =

Primero realizamos las multiplicaciones, y luego efectuamos las sumas y restas:

 

    \begin{align*} 27 + 3 \cdot 5 - 16 & = 27 + 15 - 16\\ & = \mathbf{26} \end{align*}

 

227 + 3 - 45 : 5 + 16 =

Ahora realizamos primero la división. Luego continuamos con las sumas y restas:

 

    \begin{align*}27 + 3 - 45 : 5 + 16 & = 27 + 3 - 9 + 16\\ & = \mathbf{37} \end{align*}

 

3(2 \cdot 4 + 12) (6 - 4) =

Como ahora tenemos paréntesis, primero realizamos las operaciones dentro de ellos. Recordemos seguir el mismo orden de operaciones dentro de cada paréntesis (es decir, realizamos primero la multiplicación). Además, recordemos que dos paréntesis juntos, sin signo entre ellos, es una forma de indicar una multiplicación.

 

    \begin{align*} (2 \cdot 4 + 12) (6 - 4) & = (8 + 12) (2)\\ & = 20 \cdot 2\\ & = \mathbf{40} \end{align*}

 

43 \cdot 9 + (6 + 5 - 3) - 12 : 4 =

Al igual que en el ejercicio anterior, primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis. Una vez que terminamos, ejecutamos el resto de las operaciones en su orden normal:

 

    \begin{align*} 3 \cdot 9 + (6 + 5 - 3) - 12 : 4 & = 27 + 8 - 3\\ & = \mathbf{32} \end{align*}

 

52 + 5 \cdot (2 \cdot 3)^3 =

De la misma forma, debemos realizar primero las operaciones dentro de los paréntesis. Después realizamos las potencias, seguimos con multiplicaciones y terminamos con las sumas.

 

    \begin{align*} 2 + 5 \cdot (2 \cdot3)^3 & = 2 + 5 \cdot (6)^3\\ & =2 + 5 \cdot 216\\ & = 2 + 1080\\ & = \mathbf{1082} \end{align*}

 

6440 - [30 + 6 (19 - 12)] =

Aquí debemos realizar las operaciones de los paréntesis (ya que se encuentran adentro de los corchetes). Luego seguimos el orden usual:

 

    \begin{align*}440 - [30 + 6 (19 - 12)] & = 440 - (30 + 6 \cdot 7)]\\ & = 440 - (30 + 42)\\ & = 440 - 72\\ & = \mathbf{368} \end{align*}

 

72\{ 4 [7 + 4 (5 \cdot 3 - 9)] - 3 (40 - 8) \} =

De manera similar al ejercicio anterior, primero realizamos las operaciones dentro de los paréntesis (ya que se encuentran más "al interior"). Luego continuamos con los corchetes, puesto que se encuentran adentro de las llaves:

 

\begin{array}{l}2\{ 4 [7 + 4 (5 \cdot 3 - 9)] - 3 (40 - 8) \}\\ \quad = 2\{4[7 + 4 (15 - 9)] - 3 (40 - 8)\}\\ \quad = 2\{4[7 + 4 \cdot 6] - 3 \cdot 32\}\\ \quad = 2\{4(7 + 24) - 3\cdot 32\}\\ \quad = 2[4\cdot (31) - 3\cdot 32]\\ \quad = 2(124 - 96)\\ \quad = 2(28)\\ \quad = \mathbf{56} \end{array}

 

8(3 - 8) + [5 - (-2)] =

Este ejercicio es muy similar a los anteriores. Primero realizamos las operaciones dentro de los paréntesis. Observemos, también, que -(-2) = 2.

 

    \begin{align*}(3 - 8) + [5 - (-2)] & = - 5 + (5 + 2)\\ & = -5 + 7\\ & = \mathbf{2} \end{align*}

 

95 - [6 - 2 - (1 - 8) - 3 + 6] + 5 =

Igualmente, empezamos con las operaciones dentro de los paréntesis:

 

    \begin{align*} 5 - [6 - 2 - (1 - 8) - 3 + 6] + 5 & = - [6 - 2 - (-7) - 3 + 6] + 5\\ & = 5 - [6 - 2 + 7 - 3 + 6] + 5\\ & = 5 - 14 + 5\\ & = \mathbf{-4} \end{align*}

 

109 : [6 : (- 2)] =

Empezamos con la división dentro de los corchetes. Recordemos que la división de un número positivo por un número negativo resultará en un número negativo.

 

    \begin{align*}9 : [6 : (- 2)] & = 9 : (- 3)\\ & = \mathbf{-3} \end{align*}

 

11[(- 2)^5 - (- 3)^3]^2 =

Aquí debemos recordar que la potencia impar de números negativos es un número negativo. Por lo tanto,

 

    \begin{align*} [(- 2)^5 - (- 3)^3]^2 & = [- 32 - (- 27)]\\ & = (-32 + 27)^2\\ & = (-5)^2\\ & = \mathbf{25} \end{align*}

 

12(5 + 3 \cdot 2 : 6 - 4 ) \cdot (4 : 2 - 3 + 6) : (7 - 8 : 2 - 2)^2 =

Este ejercicio es muy similar a los anteriores. Empezamos con las operaciones dentro de los paréntesis:

 

\begin{array}{l} (5 + 3 \cdot 2 : 6 - 4 ) \cdot (4 : 2 - 3 + 6) : (7 - 8 : 2 - 2)^2\\ \quad = (5 + 6 : 6 - 4 ) \cdot (4 : 2 - 3 + 6) : (7 - 8 : 2 - 2)^2\\ \quad = (5 + 1 - 4 ) \cdot (2 - 3 + 6) : (7 - 4 - 2)^2\\ \quad = 2 \cdot 5 : 1^2\\ \quad = 2 \cdot 5 : 1\\ \quad = 10 : 1\\ \quad = \mathbf{10} \end{array}

 

13[(17 - 15)^3 + (7 - 12)^2] : [(6 - 7) \cdot (12 - 23)] =

Procedemos al igual que en los ejercicios anteriores, empezando con las operaciones dentro de los paréntesis:

 

\begin{array}{l} [(17 - 15)^3 + (7 - 12)^2] : [(6 - 7) \cdot (12 - 23)]\\ \quad = [(2)^3 + (-5)^2] : [(-1) \cdot (-11)]\\ \quad = (8 + 25) : [(-1) \cdot (-11)]\\ \quad = (8 + 25) : 11\\ \quad = 33: 11\\ \quad = \mathbf{3} \end{array}

 

14\left( 3 + \frac{1}{4} \right) - \left( 2 + \frac{1}{6} \right) =

En este caso primero realizaremos la sumas de fracciones que se encuentran dentro de los paréntesis. Luego realizaremos la resta de fracciones. Es importante que no trabajemos las fracciones como divisiones (aunque sí se puede hacer, el único inconveniente es que trabajaríamos con puntos decimales)

 

    \begin{align*} \left( 3 + \frac{1}{4} \right) - \left( 2 + \frac{1}{6} \right) & = \left( \frac{12 + 1}{4} \right) - \left( \frac{12 + 1}{6} \right)\\ & = \frac{13}{4} - \frac{13}{6}\\ & = \frac{39 - 26}{12}\\ & = \mathbf{\frac{13}{12}} \end{align*}

 

15\frac{1}{2} : \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) =

Este es similar al ejercicio anterior. Primero realizamos la suma de fracciones dentro del paréntesis, después realizamos la división de fracciones.

 

    \begin{align*} \frac{1}{2} : \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) & = \frac{1}{2} : \left( \frac{3 + 4}{12} \right)\\ & = \frac{1}{2} : \frac{7}{12}\\ & = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 7}\\ & = \frac{12}{14}\\ & = \mathbf{\frac{6}{7}} \end{align*}

 

16\left( \frac{5}{3} - 1 \right) \cdot \left( \frac{7}{2} - 2 \right) =

Al igual que en el ejercicio anterior, primero realizamos las restas dentro de los paréntesis.

 

    \begin{align*} \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \cdot \left( \frac{7}{2} - 2 \right) & = \left(\frac{5 - 3 }{3} \right) \cdot \left( \frac{7 - 4}{2} \right)\\ & = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\\ & = \frac{6}{6} = \mathbf{1} \end{align*}

 

17\left( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right) : \left( \frac{5}{3} + \frac{1}{6} \right) =

Empezamos con las sumas dentro de los paréntesis:

    \begin{align*} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right) : \left( \frac{5}{3} + \frac{1}{6} \right) & = \left( \frac{3 + 2}{4} \right) : \left( \frac{10 + 1}{6} \right)\\ & = \frac{5}{4} : \frac{11}{6}\\ & = \frac{5 \cdot 6}{4 \cdot 11}\\ & = \frac{30}{44}\\ & = \mathbf{\frac{15}{22}} \end{align*}

187 \cdot 3 + [ 6 + 2 \cdot (2^3 : 4 + 3 \cdot 2) - 7 \cdot 2 ] + 9 : 3 =

Similarmente a los ejercicios anteriores, seguimos el orden que planteamos al principio (empezando con las operaciones dentro de los paréntesis y terminando con las sumas y restas).

 

\begin{array}{l}7 \cdot 3 + [ 6 + 2 \cdot (2^3 : 4 + 3 \cdot 2) - 7 \cdot 2 ] + 9 : 3\\ \quad = 7 \cdot 3 + [ 6 + 2 \cdot (8 : 4 + 3 \cdot 2) - 7 \cdot 2 ] + 9 : 3\\ \quad = 21 + [ 6 + 2 \cdot (2+ 6) - 14] +3\\ \quad = 21 + ( 6 + 2 \cdot 8 - 14) +3\\ \quad = 21 + ( 6 + 16 - 14) + 3\\ \quad = 21 + 8 + 3\\ \quad = \mathbf{32} \end{array}

 

1914 - {7 + 4 \cdot 3 - [(-2)^2 \cdot 2 - 6)]}+ (2^2 + 6 - 5 \cdot 3) + 3 - (5 - 2^3 : 2) =

Realizamos las operaciones en el orden que hemos descrito:

 

\begin{array}{l}14 - {7 + 4 \cdot 3 - [(-2)^2 \cdot 2 - 6)]}+ (2^2 + 6 - 5 \cdot 3) + 3 - (5 - 2^3 : 2)\\ \quad = 14 - [7 + 4 \cdot 3 -(4 \cdot 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 \cdot 3) + 3 - (5 - 8 : 2)\\ \quad = 14 - [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4)\\ \quad = 14 - (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1)\\ \quad = 14 - (17) + (-5) + 3 - (1)\\ \quad = 14 - 17 - 5 + 3 - 1\\ \quad = \mathbf{-6} \end{array}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗